Precálculo Ejemplos

$\frac{\log_{3} (\frac{3}{4}) + \log_{3} (\frac{4}{5}) + \log_{3} (\frac{5}{6}) + \log_{3} (\frac{6}{7}) + \log_{3} (\frac{7}{8}) + \log_{3} (\frac{8}{9})}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (\frac{9}{10})}$

Paso 1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\log_{3} (\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5}) + \log_{3} (\frac{5}{6}) + \log_{3} (\frac{6}{7}) + \log_{3} (\frac{7}{8}) + \log_{3} (\frac{8}{9})}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (\frac{9}{10})}$

Paso 1.2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\log_{3} (\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} \frac{5}{6}) + \log_{3} (\frac{6}{7}) + \log_{3} (\frac{7}{8}) + \log_{3} (\frac{8}{9})}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (\frac{9}{10})}$

Paso 1.3

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\log_{3} (\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} \frac{5}{6} \frac{6}{7}) + \log_{3} (\frac{7}{8}) + \log_{3} (\frac{8}{9})}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (\frac{9}{10})}$

Paso 1.4

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\log_{3} (\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} \frac{5}{6} \frac{6}{7} \frac{7}{8}) + \log_{3} (\frac{8}{9})}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (\frac{9}{10})}$

Paso 1.5

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\log_{3} (\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} \frac{5}{6} \frac{6}{7} \frac{7}{8} \frac{8}{9})}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (\frac{9}{10})}$

Paso 1.6

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.6.1

Cancela el factor común.

Paso 1.6.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\log_{3} (3 (\frac{1}{5}) \frac{5}{6} \frac{6}{7} \frac{7}{8} \frac{8}{9})}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (\frac{9}{10})}$

Paso 1.7

Combina $3$ y $\frac{1}{5}$ .

$\frac{\log_{3} (\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{6} \frac{6}{7} \frac{7}{8} \frac{8}{9})}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (\frac{9}{10})}$

Paso 1.8

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.8.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{\log_{3} (\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3 (2)} \frac{6}{7} \frac{7}{8} \frac{8}{9})}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (\frac{9}{10})}$

Paso 1.8.2

Cancela el factor común.

$\frac{\log_{3} (\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3 \cdot 2} \frac{6}{7} \frac{7}{8} \frac{8}{9})}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (\frac{9}{10})}$

Paso 1.8.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\log_{3} (\frac{1}{5} \cdot \frac{5}{2} \frac{6}{7} \frac{7}{8} \frac{8}{9})}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (\frac{9}{10})}$

Paso 1.9

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 1.9.1

Cancela el factor común.

Paso 1.9.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\log_{3} (\frac{1}{2} \cdot \frac{6}{7} \frac{7}{8} \frac{8}{9})}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (\frac{9}{10})}$

Paso 1.10

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.10.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{\log_{3} (\frac{1}{2} \cdot \frac{2 (3)}{7} \frac{7}{8} \frac{8}{9})}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (\frac{9}{10})}$

Paso 1.10.2

Cancela el factor común.

$\frac{\log_{3} (\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 3}{7} \frac{7}{8} \frac{8}{9})}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (\frac{9}{10})}$

Paso 1.10.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\log_{3} (\frac{3}{7} \cdot \frac{7}{8} \frac{8}{9})}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (\frac{9}{10})}$

Paso 1.11

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 1.11.1

Cancela el factor común.

$\frac{\log_{3} (\frac{3}{7} \cdot \frac{7}{8} \frac{8}{9})}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (\frac{9}{10})}$

Paso 1.11.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\log_{3} (3 (\frac{1}{8}) \frac{8}{9})}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (\frac{9}{10})}$

Paso 1.12

Combina $3$ y $\frac{1}{8}$ .

$\frac{\log_{3} (\frac{3}{8} \cdot \frac{8}{9})}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (\frac{9}{10})}$

Paso 1.13

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.13.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$\frac{\log_{3} (\frac{3}{8} \cdot \frac{8}{3 (3)})}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (\frac{9}{10})}$

Paso 1.13.2

Cancela el factor común.

$\frac{\log_{3} (\frac{3}{8} \cdot \frac{8}{3 \cdot 3})}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (\frac{9}{10})}$

Paso 1.13.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\log_{3} (\frac{1}{8} \cdot \frac{8}{3})}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (\frac{9}{10})}$

Paso 1.14

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 1.14.1

Cancela el factor común.

$\frac{\log_{3} (\frac{1}{8} \cdot \frac{8}{3})}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (\frac{9}{10})}$

Paso 1.14.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\log_{3} (\frac{1}{3})}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (\frac{9}{10})}$

Paso 1.15

El logaritmo en base $3$ de $\frac{1}{3}$ es $- 1$ .

$\frac{- 1}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (\frac{9}{10})}$

Paso 2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1

Reescribe $\frac{9}{10}$ como $9 \cdot 10^{- 1}$ .

$\frac{- 1}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (9 \cdot 10^{- 1})}$

Paso 2.2

Reescribe $\log (9 \cdot 10^{- 1})$ como $\log (9) + \log (10^{- 1})$ .

$\frac{- 1}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (9) + \log (10^{- 1})}$

Paso 2.3

Usa las reglas de logaritmos para mover $- 1$ fuera del exponente.

$\frac{- 1}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (9) - \log (10)}$

Paso 2.4

El logaritmo en base $10$ de $10$ es $1$ .

$\frac{- 1}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (9) - 1 \cdot 1}$

Paso 2.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 1}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (9) - 1}$

Paso 2.6

Simplifica cada término.

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Paso 2.6.1

Reescribe $\log (9)$ como $\log (3^{2})$ .

$\frac{- 1}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (3^{2}) - 1}$

Paso 2.6.2

Expande $\log (3^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$\frac{- 1}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + 2 \log (3) - 1}$

Paso 2.7

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{- 1}{\log (\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + 2 \log (3) - 1}$

Paso 2.8

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{- 1}{\log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{6} \frac{8}{9}) + 2 \log (3) - 1}$

Paso 2.9

Reescribe $\log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{6} \frac{8}{9}) + 2 \log (3) - 1$ en forma factorizada.

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Paso 2.9.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.9.1.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{- 1}{\log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{2 (2)}{5} \cdot \frac{5}{6} \frac{8}{9}) + 2 \log (3) - 1}$

Paso 2.9.1.2

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{- 1}{\log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{2 \cdot 2}{5} \cdot \frac{5}{2 \cdot 3} \frac{8}{9}) + 2 \log (3) - 1}$

Paso 2.9.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{\log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{2 \cdot 2}{5} \cdot \frac{5}{2 \cdot 3} \frac{8}{9}) + 2 \log (3) - 1}$

Paso 2.9.1.4

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{\log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{3} \frac{8}{9}) + 2 \log (3) - 1}$

Paso 2.9.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 2.9.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{\log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{3} \frac{8}{9}) + 2 \log (3) - 1}$

Paso 2.9.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{\log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (2 (\frac{1}{3}) \frac{8}{9}) + 2 \log (3) - 1}$

Paso 2.9.3

Combina $2$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 1}{\log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{2}{3} \cdot \frac{8}{9}) + 2 \log (3) - 1}$

Paso 2.9.4

Multiplica $\frac{2}{3} \cdot \frac{8}{9}$ .

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Paso 2.9.4.1

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{8}{9}$ .

$\frac{- 1}{\log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{2 \cdot 8}{3 \cdot 9}) + 2 \log (3) - 1}$

Paso 2.9.4.2

Multiplica $2$ por $8$ .

$\frac{- 1}{\log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{16}{3 \cdot 9}) + 2 \log (3) - 1}$

Paso 2.9.4.3

Multiplica $3$ por $9$ .

$\frac{- 1}{\log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{16}{27}) + 2 \log (3) - 1}$

Paso 2.9.5

Simplifica $2 \log (3)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\frac{- 1}{\log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{16}{27}) + \log (3^{2}) - 1}$

Paso 2.9.6

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{- 1}{\log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{16}{27}) + \log (9) - 1}$

Paso 2.9.7

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{- 1}{\log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{16}{27} \cdot 9) - 1}$

Paso 2.9.8

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 2.9.8.1

Factoriza $9$ de $27$ .

$\frac{- 1}{\log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{16}{9 (3)} \cdot 9) - 1}$

Paso 2.9.8.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{\log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{16}{9 \cdot 3} \cdot 9) - 1}$

Paso 2.9.8.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{\log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{16}{3}) - 1}$

Paso 3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{\log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{16}{3}) - 1}$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{1}{\log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{16}{3}) - 1}$

Forma decimal:

$3.71582973 \dots$