Precálculo Ejemplos

$\cos^{3} (\frac{5 π}{6}) \cdot \sin^{2} (\frac{7 π}{8}) + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

${(- \cos (\frac{π}{6}))}^{3} \cdot \sin^{2} (\frac{7 π}{8}) + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

Paso 1.2

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{3} \cdot \sin^{2} (\frac{7 π}{8}) + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

Paso 1.3

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 1.3.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{3} \cdot \sin^{2} (\frac{7 π}{8}) + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

Paso 1.3.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(- 1)}^{3} \frac{{\sqrt{3}}^{3}}{2^{3}} \cdot \sin^{2} (\frac{7 π}{8}) + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

Paso 1.4

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{{\sqrt{3}}^{3}}{2^{3}} \cdot \sin^{2} (\frac{7 π}{8}) + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

Paso 1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.5.1

Reescribe ${\sqrt{3}}^{3}$ como $\sqrt{3^{3}}$ .

$- \frac{\sqrt{3^{3}}}{2^{3}} \cdot \sin^{2} (\frac{7 π}{8}) + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

Paso 1.5.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{\sqrt{27}}{2^{3}} \cdot \sin^{2} (\frac{7 π}{8}) + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

Paso 1.5.3

Reescribe $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

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Paso 1.5.3.1

Factoriza $9$ de $27$ .

$- \frac{\sqrt{9 (3)}}{2^{3}} \cdot \sin^{2} (\frac{7 π}{8}) + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

Paso 1.5.3.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2^{3}} \cdot \sin^{2} (\frac{7 π}{8}) + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

Paso 1.5.4

Retira los términos de abajo del radical.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{2^{3}} \cdot \sin^{2} (\frac{7 π}{8}) + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

Paso 1.6

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{3 \sqrt{3}}{8} \cdot \sin^{2} (\frac{7 π}{8}) + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

Paso 1.7

El valor exacto de $\sin (\frac{7 π}{8})$ es $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

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Paso 1.7.1

Reescribe $\frac{7 π}{8}$ como un ángulo donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas dividido por $2$ .

$- \frac{3 \sqrt{3}}{8} \cdot \sin^{2} (\frac{\frac{7 π}{4}}{2}) + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

Paso 1.7.2

Aplica la razón del ángulo mitad del seno.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{8} \cdot {(\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{4})}{2}})}^{2} + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

Paso 1.7.3

Cambia $\pm$ por $+$ porque el seno es positivo en el segundo cuadrante.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{8} \cdot {\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{4})}{2}}}^{2} + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

Paso 1.7.4

Simplifica $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{4})}{2}}$ .

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Paso 1.7.4.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{8} \cdot {\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}}^{2} + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

Paso 1.7.4.2

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{3 \sqrt{3}}{8} \cdot {\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2} + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

Paso 1.7.4.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{8} \cdot {\sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2} + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

Paso 1.7.4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{8} \cdot {\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2} + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

Paso 1.7.4.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{8} \cdot {\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}}^{2} + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

Paso 1.7.4.6

Multiplica $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 1.7.4.6.1

Multiplica $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{3 \sqrt{3}}{8} \cdot {\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}}^{2} + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

Paso 1.7.4.6.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{3 \sqrt{3}}{8} \cdot {\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}}^{2} + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

Paso 1.7.4.7

Reescribe $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ como $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$- \frac{3 \sqrt{3}}{8} \cdot {(\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}})}^{2} + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

Paso 1.7.4.8

Simplifica el denominador.

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Paso 1.7.4.8.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$- \frac{3 \sqrt{3}}{8} \cdot {(\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}})}^{2} + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

Paso 1.7.4.8.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{8} \cdot {(\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})}^{2} + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

Paso 1.8

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

$- \frac{3 \sqrt{3}}{8} \cdot \frac{{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}} + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

Paso 1.9

Reescribe ${\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{2}$ como $2 - \sqrt{2}$ .

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Paso 1.9.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 - \sqrt{2}}$ como ${(2 - \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{3 \sqrt{3}}{8} \cdot \frac{{({(2 - \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

Paso 1.9.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3 \sqrt{3}}{8} \cdot \frac{{(2 - \sqrt{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

Paso 1.9.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$- \frac{3 \sqrt{3}}{8} \cdot \frac{{(2 - \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

Paso 1.9.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.9.4.1

Cancela el factor común.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{8} \cdot \frac{{(2 - \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

Paso 1.9.4.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{8} \cdot \frac{{(2 - \sqrt{2})}^{1}}{2^{2}} + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

Paso 1.9.5

Simplifica.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{8} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2^{2}} + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

Paso 1.10

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{3 \sqrt{3}}{8} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

Paso 1.11

Multiplica $- \frac{3 \sqrt{3}}{8} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{4}$ .

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Paso 1.11.1

Multiplica $\frac{2 - \sqrt{2}}{4}$ por $\frac{3 \sqrt{3}}{8}$ .

$- \frac{(2 - \sqrt{2}) (3 \sqrt{3})}{4 \cdot 8} + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

Paso 1.11.2

Multiplica $4$ por $8$ .

$- \frac{(2 - \sqrt{2}) (3 \sqrt{3})}{32} + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

Paso 1.12

Agrupa $\sqrt{3}$ y $2 - \sqrt{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3} (2 - \sqrt{2}) \cdot 3}{32} + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

Paso 1.13

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{(\sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} (- \sqrt{2})) \cdot 3}{32} + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

Paso 1.14

Mueve $2$ a la izquierda de $\sqrt{3}$ .

$- \frac{(2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} (- \sqrt{2})) \cdot 3}{32} + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

Paso 1.15

Multiplica $\sqrt{3} (- \sqrt{2})$ .

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Paso 1.15.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$- \frac{(2 \cdot \sqrt{3} - \sqrt{3 \cdot 2}) \cdot 3}{32} + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

Paso 1.15.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$- \frac{(2 \cdot \sqrt{3} - \sqrt{6}) \cdot 3}{32} + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

$- \frac{(2 \sqrt{3} - \sqrt{6}) \cdot 3}{32} + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

Paso 1.16

Mueve $3$ a la izquierda de $2 \sqrt{3} - \sqrt{6}$ .

$- \frac{3 \cdot (2 \sqrt{3} - \sqrt{6})}{32} + \frac{\tan (\frac{π}{6} \cdot \ln (8))}{\sqrt{7}}$

Paso 1.17

Simplifica el numerador.

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Paso 1.17.1

Combina $\frac{π}{6}$ y $\ln (8)$ .

$- \frac{3 (2 \sqrt{3} - \sqrt{6})}{32} + \frac{\tan (\frac{π \ln (8)}{6})}{\sqrt{7}}$

Paso 1.17.2

Reescribe $\ln (8)$ como $\ln (2^{3})$ .

$- \frac{3 (2 \sqrt{3} - \sqrt{6})}{32} + \frac{\tan (\frac{π \ln (2^{3})}{6})}{\sqrt{7}}$

Paso 1.17.3

Expande $\ln (2^{3})$ ; para ello, mueve $3$ fuera del logaritmo.

$- \frac{3 (2 \sqrt{3} - \sqrt{6})}{32} + \frac{\tan (\frac{π (3 \ln (2))}{6})}{\sqrt{7}}$

Paso 1.17.4

Cancela el factor común de $3$ y $6$ .

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Paso 1.17.4.1

Factoriza $3$ de $π (3 \ln (2))$ .

$- \frac{3 (2 \sqrt{3} - \sqrt{6})}{32} + \frac{\tan (\frac{3 (π (\ln (2)))}{6})}{\sqrt{7}}$

Paso 1.17.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.17.4.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$- \frac{3 (2 \sqrt{3} - \sqrt{6})}{32} + \frac{\tan (\frac{3 (π (\ln (2)))}{3 \cdot 2})}{\sqrt{7}}$

Paso 1.17.4.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{3 (2 \sqrt{3} - \sqrt{6})}{32} + \frac{\tan (\frac{3 (π (\ln (2)))}{3 \cdot 2})}{\sqrt{7}}$

Paso 1.17.4.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{3 (2 \sqrt{3} - \sqrt{6})}{32} + \frac{\tan (\frac{π (\ln (2))}{2})}{\sqrt{7}}$

Paso 1.17.5

Reescribe $\tan (\frac{π \ln (2)}{2})$ en términos de senos y cosenos.

$- \frac{3 (2 \sqrt{3} - \sqrt{6})}{32} + \frac{\frac{\sin (\frac{π \ln (2)}{2})}{\cos (\frac{π \ln (2)}{2})}}{\sqrt{7}}$

Paso 1.18

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{3 (2 \sqrt{3} - \sqrt{6})}{32} + \frac{\sin (\frac{π \ln (2)}{2})}{\cos (\frac{π \ln (2)}{2})} \cdot \frac{1}{\sqrt{7}}$

Paso 1.19

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{7}}$ por $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$- \frac{3 (2 \sqrt{3} - \sqrt{6})}{32} + \frac{\sin (\frac{π \ln (2)}{2})}{\cos (\frac{π \ln (2)}{2})} (\frac{1}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}})$

Paso 1.20

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 1.20.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{7}}$ por $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$- \frac{3 (2 \sqrt{3} - \sqrt{6})}{32} + \frac{\sin (\frac{π \ln (2)}{2})}{\cos (\frac{π \ln (2)}{2})} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Paso 1.20.2

Eleva $\sqrt{7}$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{3 (2 \sqrt{3} - \sqrt{6})}{32} + \frac{\sin (\frac{π \ln (2)}{2})}{\cos (\frac{π \ln (2)}{2})} \cdot \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}}$

Paso 1.20.3

Eleva $\sqrt{7}$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{3 (2 \sqrt{3} - \sqrt{6})}{32} + \frac{\sin (\frac{π \ln (2)}{2})}{\cos (\frac{π \ln (2)}{2})} \cdot \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}}$

Paso 1.20.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{3 (2 \sqrt{3} - \sqrt{6})}{32} + \frac{\sin (\frac{π \ln (2)}{2})}{\cos (\frac{π \ln (2)}{2})} \cdot \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

Paso 1.20.5

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{3 (2 \sqrt{3} - \sqrt{6})}{32} + \frac{\sin (\frac{π \ln (2)}{2})}{\cos (\frac{π \ln (2)}{2})} \cdot \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

Paso 1.20.6

Reescribe ${\sqrt{7}}^{2}$ como $7$ .

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Paso 1.20.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{7}$ como $7^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{3 (2 \sqrt{3} - \sqrt{6})}{32} + \frac{\sin (\frac{π \ln (2)}{2})}{\cos (\frac{π \ln (2)}{2})} \cdot \frac{\sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.20.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3 (2 \sqrt{3} - \sqrt{6})}{32} + \frac{\sin (\frac{π \ln (2)}{2})}{\cos (\frac{π \ln (2)}{2})} \cdot \frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 1.20.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$- \frac{3 (2 \sqrt{3} - \sqrt{6})}{32} + \frac{\sin (\frac{π \ln (2)}{2})}{\cos (\frac{π \ln (2)}{2})} \cdot \frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Paso 1.20.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.20.6.4.1

Cancela el factor común.

$- \frac{3 (2 \sqrt{3} - \sqrt{6})}{32} + \frac{\sin (\frac{π \ln (2)}{2})}{\cos (\frac{π \ln (2)}{2})} \cdot \frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Paso 1.20.6.4.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{3 (2 \sqrt{3} - \sqrt{6})}{32} + \frac{\sin (\frac{π \ln (2)}{2})}{\cos (\frac{π \ln (2)}{2})} \cdot \frac{\sqrt{7}}{7^{1}}$

Paso 1.20.6.5

Evalúa el exponente.

$- \frac{3 (2 \sqrt{3} - \sqrt{6})}{32} + \frac{\sin (\frac{π \ln (2)}{2})}{\cos (\frac{π \ln (2)}{2})} \cdot \frac{\sqrt{7}}{7}$

Paso 1.21

Multiplica $\frac{\sin (\frac{π \ln (2)}{2})}{\cos (\frac{π \ln (2)}{2})}$ por $\frac{\sqrt{7}}{7}$ .

$- \frac{3 (2 \sqrt{3} - \sqrt{6})}{32} + \frac{\sin (\frac{π \ln (2)}{2}) \sqrt{7}}{\cos (\frac{π \ln (2)}{2}) \cdot 7}$

Paso 1.22

Mueve $7$ a la izquierda de $\cos (\frac{π \ln (2)}{2})$ .

$- \frac{3 (2 \sqrt{3} - \sqrt{6})}{32} + \frac{\sin (\frac{π \ln (2)}{2}) \sqrt{7}}{7 \cos (\frac{π \ln (2)}{2})}$

Paso 2

Simplifica cada término.

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Paso 2.1

Separa las fracciones.

$- \frac{3 (2 \sqrt{3} - \sqrt{6})}{32} + \frac{\sqrt{7}}{7} \cdot \frac{\sin (\frac{π \ln (2)}{2})}{\cos (\frac{π \ln (2)}{2})}$

Paso 2.2

Convierte de $\frac{\sin (\frac{π \ln (2)}{2})}{\cos (\frac{π \ln (2)}{2})}$ a $\tan (\frac{π \ln (2)}{2})$ .

$- \frac{3 (2 \sqrt{3} - \sqrt{6})}{32} + \frac{\sqrt{7}}{7} \tan (\frac{π \ln (2)}{2})$

Paso 2.3

Combina $\frac{\sqrt{7}}{7}$ y $\tan (\frac{π \ln (2)}{2})$ .

$- \frac{3 (2 \sqrt{3} - \sqrt{6})}{32} + \frac{\sqrt{7} \tan (\frac{π \ln (2)}{2})}{7}$

Paso 3

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{3 (2 \sqrt{3} - \sqrt{6})}{32} + \frac{\sqrt{7} \tan (\frac{π \ln (2)}{2})}{7}$

Forma decimal:

$0.62734487 \dots$