Precálculo Ejemplos

$(2 \sqrt{2}, \frac{3 π}{4})$

Paso 1

Usa las fórmulas de conversión para convertir de coordenadas polares a coordenadas rectangulares.

$x = r c o s θ$

$y = r s i n θ$

Paso 2

Sustituye los valores conocidos de $r = 2 \sqrt{2}$ y $θ = \frac{3 π}{4}$ en las fórmulas.

$x = (2 \sqrt{2}) \cos (\frac{3 π}{4})$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{3 π}{4})$

Paso 3

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$x = 2 \sqrt{2} (- \cos (\frac{π}{4}))$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{3 π}{4})$

Paso 4

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = 2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{3 π}{4})$

Paso 5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ al numerador.

$x = 2 \sqrt{2} (\frac{- \sqrt{2}}{2})$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{3 π}{4})$

Paso 5.2

Factoriza $2$ de $2 \sqrt{2}$ .

$x = 2 (\sqrt{2}) (\frac{- \sqrt{2}}{2})$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{3 π}{4})$

Paso 5.3

Cancela el factor común.

$x = 2 \sqrt{2} (\frac{- \sqrt{2}}{2})$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{3 π}{4})$

Paso 5.4

Reescribe la expresión.

$x = \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{3 π}{4})$

$x = \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{3 π}{4})$

Paso 6

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$x = - (\sqrt{2} \sqrt{2})$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{3 π}{4})$

Paso 7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = - {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{3 π}{4})$

Paso 8

Suma $1$ y $1$ .

$x = - {\sqrt{2}}^{2}$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{3 π}{4})$

Paso 9

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 9.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{3 π}{4})$

Paso 9.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{3 π}{4})$

Paso 9.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = - 2^{\frac{2}{2}}$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{3 π}{4})$

Paso 9.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.4.1

Cancela el factor común.

$x = - 2^{\frac{2}{2}}$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{3 π}{4})$

Paso 9.4.2

Reescribe la expresión.

$x = - 2$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{3 π}{4})$

$x = - 2$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{3 π}{4})$

Paso 9.5

Evalúa el exponente.

$x = - 1 \cdot 2$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{3 π}{4})$

$x = - 1 \cdot 2$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{3 π}{4})$

Paso 10

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$x = - 2$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{3 π}{4})$

Paso 11

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$x = - 2$

$y = 2 \sqrt{2} \sin (\frac{π}{4})$

Paso 12

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 2$

$y = 2 \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Paso 13

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 13.1

Factoriza $2$ de $2 \sqrt{2}$ .

$x = - 2$

$y = 2 (\sqrt{2}) (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Paso 13.2

Cancela el factor común.

$x = - 2$

$y = 2 \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Paso 13.3

Reescribe la expresión.

$x = - 2$

$y = \sqrt{2} \sqrt{2}$

$x = - 2$

$y = \sqrt{2} \sqrt{2}$

Paso 14

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = - 2$

$y = {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

Paso 15

Suma $1$ y $1$ .

$x = - 2$

$y = {\sqrt{2}}^{2}$

Paso 16

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 16.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = - 2$

$y = {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 16.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = - 2$

$y = 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 16.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = - 2$

$y = 2^{\frac{2}{2}}$

Paso 16.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 16.4.1

Cancela el factor común.

$x = - 2$

$y = 2^{\frac{2}{2}}$

Paso 16.4.2

Reescribe la expresión.

$x = - 2$

$y = 2$

$x = - 2$

$y = 2$

Paso 16.5

Evalúa el exponente.

$x = - 2$

$y = 2$

$x = - 2$

$y = 2$

Paso 17

La representación rectangular del punto polar $(2 \sqrt{2}, \frac{3 π}{4})$ es $(- 2, 2)$ .

$(- 2, 2)$