Precálculo Ejemplos

$(4 \sqrt{2}, - \frac{π}{4})$

Paso 1

Usa las fórmulas de conversión para convertir de coordenadas polares a coordenadas rectangulares.

$x = r c o s θ$

$y = r s i n θ$

Paso 2

Sustituye los valores conocidos de $r = 4 \sqrt{2}$ y $θ = - \frac{π}{4}$ en las fórmulas.

$x = (4 \sqrt{2}) \cos (- \frac{π}{4})$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

Paso 3

Suma las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$x = 4 \sqrt{2} \cos (\frac{7 π}{4})$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

Paso 4

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$x = 4 \sqrt{2} \cos (\frac{π}{4})$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

Paso 5

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = 4 \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2})$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

Paso 6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.1

Factoriza $2$ de $4 \sqrt{2}$ .

$x = 2 (2 \sqrt{2}) (\frac{\sqrt{2}}{2})$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

Paso 6.2

Cancela el factor común.

$x = 2 (2 \sqrt{2}) (\frac{\sqrt{2}}{2})$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

Paso 6.3

Reescribe la expresión.

$x = 2 \sqrt{2} \sqrt{2}$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

$x = 2 \sqrt{2} \sqrt{2}$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

Paso 7

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$x = 2 (\sqrt{2} \sqrt{2})$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

Paso 8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = 2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

Paso 9

Suma $1$ y $1$ .

$x = 2 {\sqrt{2}}^{2}$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

Paso 10

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 10.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = 2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

Paso 10.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

Paso 10.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

Paso 10.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.4.1

Cancela el factor común.

$x = 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

Paso 10.4.2

Reescribe la expresión.

$x = 2 \cdot 2$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

$x = 2 \cdot 2$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

Paso 10.5

Evalúa el exponente.

$x = 2 \cdot 2$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

$x = 2 \cdot 2$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

Paso 11

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = 4$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

Paso 12

Suma las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$x = 4$

$y = 4 \sqrt{2} \sin (\frac{7 π}{4})$

Paso 13

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el cuarto cuadrante.

$x = 4$

$y = 4 \sqrt{2} (- \sin (\frac{π}{4}))$

Paso 14

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = 4$

$y = 4 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Paso 15

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 15.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ al numerador.

$x = 4$

$y = 4 \sqrt{2} (\frac{- \sqrt{2}}{2})$

Paso 15.2

Factoriza $2$ de $4 \sqrt{2}$ .

$x = 4$

$y = 2 (2 \sqrt{2}) (\frac{- \sqrt{2}}{2})$

Paso 15.3

Cancela el factor común.

$x = 4$

$y = 2 (2 \sqrt{2}) (\frac{- \sqrt{2}}{2})$

Paso 15.4

Reescribe la expresión.

$x = 4$

$y = 2 \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

$x = 4$

$y = 2 \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

Paso 16

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$x = 4$

$y = - 2 \sqrt{2} \sqrt{2}$

Paso 17

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$x = 4$

$y = - 2 (\sqrt{2} \sqrt{2})$

Paso 18

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = 4$

$y = - 2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

Paso 19

Suma $1$ y $1$ .

$x = 4$

$y = - 2 {\sqrt{2}}^{2}$

Paso 20

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 20.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = 4$

$y = - 2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 20.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 4$

$y = - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 20.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = 4$

$y = - 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Paso 20.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 20.4.1

Cancela el factor común.

$x = 4$

$y = - 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Paso 20.4.2

Reescribe la expresión.

$x = 4$

$y = - 2 \cdot 2$

$x = 4$

$y = - 2 \cdot 2$

Paso 20.5

Evalúa el exponente.

$x = 4$

$y = - 2 \cdot 2$

$x = 4$

$y = - 2 \cdot 2$

Paso 21

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$x = 4$

$y = - 4$

Paso 22

La representación rectangular del punto polar $(4 \sqrt{2}, - \frac{π}{4})$ es $(4, - 4)$ .

$(4, - 4)$