Precálculo Ejemplos

$(4, \frac{π}{12})$

Paso 1

Usa las fórmulas de conversión para convertir de coordenadas polares a coordenadas rectangulares.

$x = r c o s θ$

$y = r s i n θ$

Paso 2

Sustituye los valores conocidos de $r = 4$ y $θ = \frac{π}{12}$ en las fórmulas.

$x = (4) \cos (\frac{π}{12})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Paso 3

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{12})$ es $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Paso 3.1

Divide $\frac{π}{12}$ en dos ángulos donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas.

$x = 4 \cos (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Paso 3.2

Aplica la diferencia de la razón de los ángulos $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$x = 4 (\cos (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Paso 3.3

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = 4 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Paso 3.4

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$x = 4 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Paso 3.5

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = 4 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin (\frac{π}{6}))$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Paso 3.6

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{6})$ es $\frac{1}{2}$ .

$x = 4 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Paso 3.7

Simplifica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 3.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.7.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Paso 3.7.1.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$x = 4 (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Paso 3.7.1.1.2

Combina con la regla del producto para radicales.

$x = 4 (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Paso 3.7.1.1.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$x = 4 (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Paso 3.7.1.1.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = 4 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

$x = 4 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Paso 3.7.1.2

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 3.7.1.2.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = 4 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Paso 3.7.1.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = 4 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

$x = 4 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

$x = 4 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Paso 3.7.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = 4 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

$x = 4 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

$x = 4 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Paso 4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.1

Cancela el factor común.

$x = 4 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Paso 4.2

Reescribe la expresión.

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Paso 5

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{12})$ es $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Paso 5.1

Divide $\frac{π}{12}$ en dos ángulos donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas.

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 \sin (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

Paso 5.2

Aplica la diferencia de la razón de los ángulos.

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Paso 5.3

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Paso 5.4

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Paso 5.5

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin (\frac{π}{6}))$

Paso 5.6

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{6})$ es $\frac{1}{2}$ .

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Paso 5.7

Simplifica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 5.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.7.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Paso 5.7.1.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Paso 5.7.1.1.2

Combina con la regla del producto para radicales.

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Paso 5.7.1.1.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Paso 5.7.1.1.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Paso 5.7.1.2

Multiplica $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 5.7.1.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

Paso 5.7.1.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})$

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})$

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})$

Paso 5.7.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})$

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})$

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})$

Paso 6

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 6.1

Cancela el factor común.

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})$

Paso 6.2

Reescribe la expresión.

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = \sqrt{6} - \sqrt{2}$

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = \sqrt{6} - \sqrt{2}$

Paso 7

La representación rectangular del punto polar $(4, \frac{π}{12})$ es $(\sqrt{6} + \sqrt{2}, \sqrt{6} - \sqrt{2})$ .

$(\sqrt{6} + \sqrt{2}, \sqrt{6} - \sqrt{2})$