Precálculo Ejemplos

$(5, \frac{5 π}{12})$

Paso 1

Usa las fórmulas de conversión para convertir de coordenadas polares a coordenadas rectangulares.

$x = r c o s θ$

$y = r s i n θ$

Paso 2

Sustituye los valores conocidos de $r = 5$ y $θ = \frac{5 π}{12}$ en las fórmulas.

$x = (5) \cos (\frac{5 π}{12})$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

Paso 3

El valor exacto de $\cos (\frac{5 π}{12})$ es $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Divide $\frac{5 π}{12}$ en dos ángulos donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas.

$x = 5 \cos (\frac{π}{6} + \frac{π}{4})$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

Paso 3.2

Aplica la suma de la razón de los ángulos $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$x = 5 (\cos (\frac{π}{6}) \cos (\frac{π}{4}) - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4}))$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

Paso 3.3

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$x = 5 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos (\frac{π}{4}) - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4}))$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

Paso 3.4

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = 5 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4}))$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

Paso 3.5

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{6})$ es $\frac{1}{2}$ .

$x = 5 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{π}{4}))$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

Paso 3.6

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = 5 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

Paso 3.7

Simplifica $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.1.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = 5 (\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

Paso 3.7.1.1.2

Combina con la regla del producto para radicales.

$x = 5 (\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

Paso 3.7.1.1.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$x = 5 (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

Paso 3.7.1.1.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = 5 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

$x = 5 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

Paso 3.7.1.2

Multiplica $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.1.2.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = 5 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

Paso 3.7.1.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = 5 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

$x = 5 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

$x = 5 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

Paso 3.7.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = 5 (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

$x = 5 (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

$x = 5 (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

Paso 4

Combina $5$ y $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

Paso 5

El valor exacto de $\sin (\frac{5 π}{12})$ es $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Divide $\frac{5 π}{12}$ en dos ángulos donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas.

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = 5 \sin (\frac{π}{6} + \frac{π}{4})$

Paso 5.2

Aplica la suma de la razón de los ángulos.

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = 5 (\sin (\frac{π}{6}) \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4}))$

Paso 5.3

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{6})$ es $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = 5 (\frac{1}{2} \cdot \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4}))$

Paso 5.4

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = 5 (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4}))$

Paso 5.5

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = 5 (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin (\frac{π}{4}))$

Paso 5.6

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = 5 (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

Paso 5.7

Simplifica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.7.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.7.1.1

Multiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.7.1.1.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = 5 (\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

Paso 5.7.1.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = 5 (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = 5 (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

Paso 5.7.1.2

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.7.1.2.1

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = 5 (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

Paso 5.7.1.2.2

Combina con la regla del producto para radicales.

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = 5 (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2})$

Paso 5.7.1.2.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = 5 (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2})$

Paso 5.7.1.2.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = 5 (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4})$

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = 5 (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4})$

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = 5 (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4})$

Paso 5.7.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = 5 (\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4})$

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = 5 (\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4})$

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = 5 (\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4})$

Paso 6

Combina $5$ y $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = \frac{5 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{4}$

Paso 7

La representación rectangular del punto polar $(5, \frac{5 π}{12})$ es $(\frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}, \frac{5 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{4})$ .

$(\frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}, \frac{5 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{4})$