Precálculo Ejemplos

$(- 8, - 15)$

Paso 1

Usa las fórmulas de conversión para convertir de coordenadas polares a coordenadas rectangulares.

$x = r c o s θ$

$y = r s i n θ$

Paso 2

Sustituye los valores conocidos de $r = - 8$ y $θ = - 15$ en las fórmulas.

$x = (- 8) \cos (- 15)$

$y = (- 8) \sin (- 15)$

Paso 3

El valor exacto de $\cos (- 15)$ es $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Paso 3.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$x = - 8 \cos (15)$

$y = (- 8) \sin (- 15)$

Paso 3.2

Divide $15$ en dos ángulos donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas.

$x = - 8 \cos (45 - 30)$

$y = (- 8) \sin (- 15)$

Paso 3.3

Separa la negación.

$x = - 8 \cos (45 - (30))$

$y = (- 8) \sin (- 15)$

Paso 3.4

Aplica la diferencia de la razón de los ángulos $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$x = - 8 (\cos (45) \cos (30) + \sin (45) \sin (30))$

$y = (- 8) \sin (- 15)$

Paso 3.5

El valor exacto de $\cos (45)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 8 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (30) + \sin (45) \sin (30))$

$y = (- 8) \sin (- 15)$

Paso 3.6

El valor exacto de $\cos (30)$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 8 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (45) \sin (30))$

$y = (- 8) \sin (- 15)$

Paso 3.7

El valor exacto de $\sin (45)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 8 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin (30))$

$y = (- 8) \sin (- 15)$

Paso 3.8

El valor exacto de $\sin (30)$ es $\frac{1}{2}$ .

$x = - 8 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

$y = (- 8) \sin (- 15)$

Paso 3.9

Simplifica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 3.9.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.9.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Paso 3.9.1.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 8 (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

$y = (- 8) \sin (- 15)$

Paso 3.9.1.1.2

Combina con la regla del producto para radicales.

$x = - 8 (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

$y = (- 8) \sin (- 15)$

Paso 3.9.1.1.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$x = - 8 (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

$y = (- 8) \sin (- 15)$

Paso 3.9.1.1.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = - 8 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

$y = (- 8) \sin (- 15)$

$x = - 8 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

$y = (- 8) \sin (- 15)$

Paso 3.9.1.2

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 3.9.1.2.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = - 8 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

$y = (- 8) \sin (- 15)$

Paso 3.9.1.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = - 8 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4})$

$y = (- 8) \sin (- 15)$

$x = - 8 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4})$

$y = (- 8) \sin (- 15)$

$x = - 8 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4})$

$y = (- 8) \sin (- 15)$

Paso 3.9.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = - 8 \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

$y = (- 8) \sin (- 15)$

$x = - 8 \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

$y = (- 8) \sin (- 15)$

$x = - 8 \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

$y = (- 8) \sin (- 15)$

Paso 4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.1

Factoriza $4$ de $- 8$ .

$x = 4 (- 2) (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4})$

$y = (- 8) \sin (- 15)$

Paso 4.2

Cancela el factor común.

$x = 4 \cdot (- 2 \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4})$

$y = (- 8) \sin (- 15)$

Paso 4.3

Reescribe la expresión.

$x = - 2 (\sqrt{6} + \sqrt{2})$

$y = (- 8) \sin (- 15)$

$x = - 2 (\sqrt{6} + \sqrt{2})$

$y = (- 8) \sin (- 15)$

Paso 5

Aplica la propiedad distributiva.

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = (- 8) \sin (- 15)$

Paso 6

El valor exacto de $\sin (- 15)$ es $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Paso 6.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el cuarto cuadrante.

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = - 8 (- \sin (15))$

Paso 6.2

Divide $15$ en dos ángulos donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas.

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = - 8 (- \sin (45 - 30))$

Paso 6.3

Separa la negación.

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = - 8 (- \sin (45 - (30)))$

Paso 6.4

Aplica la diferencia de la razón de los ángulos.

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = - 8 (- (\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30)))$

Paso 6.5

El valor exacto de $\sin (45)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = - 8 (- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (30) - \cos (45) \sin (30)))$

Paso 6.6

El valor exacto de $\cos (30)$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = - 8 (- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30)))$

Paso 6.7

El valor exacto de $\cos (45)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = - 8 (- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin (30)))$

Paso 6.8

El valor exacto de $\sin (30)$ es $\frac{1}{2}$ .

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = - 8 (- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}))$

Paso 6.9

Simplifica $- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$ .

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Paso 6.9.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.9.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Paso 6.9.1.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = - 8 (- (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}))$

Paso 6.9.1.1.2

Combina con la regla del producto para radicales.

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = - 8 (- (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}))$

Paso 6.9.1.1.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = - 8 (- (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}))$

Paso 6.9.1.1.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = - 8 (- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}))$

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = - 8 (- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}))$

Paso 6.9.1.2

Multiplica $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 6.9.1.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = - 8 (- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}))$

Paso 6.9.1.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = - 8 (- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}))$

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = - 8 (- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}))$

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = - 8 (- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}))$

Paso 6.9.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = - 8 (- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})$

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = - 8 (- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})$

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = - 8 (- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})$

Paso 7

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 7.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ al numerador.

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = - 8 \frac{- (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

Paso 7.2

Factoriza $4$ de $- 8$ .

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = 4 (- 2) (\frac{- (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4})$

Paso 7.3

Cancela el factor común.

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = 4 \cdot (- 2 \frac{- (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4})$

Paso 7.4

Reescribe la expresión.

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = - 2 (- (\sqrt{6} - \sqrt{2}))$

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = - 2 (- (\sqrt{6} - \sqrt{2}))$

Paso 8

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = 2 (\sqrt{6} - \sqrt{2})$

Paso 9

Aplica la propiedad distributiva.

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = 2 \sqrt{6} + 2 (- \sqrt{2})$

Paso 10

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$x = - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

$y = 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

Paso 11

La representación rectangular del punto polar $(- 8, - 15)$ es $(- 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2})$ .

$(- 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2})$