Precálculo Ejemplos

$4 {(x - \frac{3}{2})}^{2} = 16 - 16 (y + \frac{1}{2})$

Paso 1

Aísla $y$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Reescribe la ecuación como $16 - 16 (y + \frac{1}{2}) = 4 {(x - \frac{3}{2})}^{2}$ .

$16 - 16 (y + \frac{1}{2}) = 4 {(x - \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 1.2

Simplifica $16 - 16 (y + \frac{1}{2})$ .

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Paso 1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$16 - 16 y - 16 (\frac{1}{2}) = 4 {(x - \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 1.2.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $- 16$ .

$16 - 16 y + 2 (- 8) \frac{1}{2} = 4 {(x - \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 1.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$16 - 16 y + 2 \cdot - 8 \frac{1}{2} = 4 {(x - \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 1.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$16 - 16 y - 8 = 4 {(x - \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 1.2.2

Resta $8$ de $16$ .

$- 16 y + 8 = 4 {(x - \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 1.3

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$- 16 y = 4 {(x - \frac{3}{2})}^{2} - 8$

Paso 1.4

Divide cada término en $- 16 y = 4 {(x - \frac{3}{2})}^{2} - 8$ por $- 16$ y simplifica.

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Paso 1.4.1

Divide cada término en $- 16 y = 4 {(x - \frac{3}{2})}^{2} - 8$ por $- 16$ .

$\frac{- 16 y}{- 16} = \frac{4 {(x - \frac{3}{2})}^{2}}{- 16} + \frac{- 8}{- 16}$

Paso 1.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.4.2.1

Cancela el factor común de $- 16$ .

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Paso 1.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 16 y}{- 16} = \frac{4 {(x - \frac{3}{2})}^{2}}{- 16} + \frac{- 8}{- 16}$

Paso 1.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{4 {(x - \frac{3}{2})}^{2}}{- 16} + \frac{- 8}{- 16}$

Paso 1.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.3.1.1

Cancela el factor común de $4$ y $- 16$ .

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Paso 1.4.3.1.1.1

Factoriza $4$ de $4 {(x - \frac{3}{2})}^{2}$ .

$y = \frac{4 {(x - \frac{3}{2})}^{2}}{- 16} + \frac{- 8}{- 16}$

Paso 1.4.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.3.1.1.2.1

Factoriza $4$ de $- 16$ .

$y = \frac{4 {(x - \frac{3}{2})}^{2}}{4 \cdot - 4} + \frac{- 8}{- 16}$

Paso 1.4.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{4 {(x - \frac{3}{2})}^{2}}{4 \cdot - 4} + \frac{- 8}{- 16}$

Paso 1.4.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{{(x - \frac{3}{2})}^{2}}{- 4} + \frac{- 8}{- 16}$

Paso 1.4.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{{(x - \frac{3}{2})}^{2}}{4} + \frac{- 8}{- 16}$

Paso 1.4.3.1.3

Cancela el factor común de $- 8$ y $- 16$ .

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Paso 1.4.3.1.3.1

Factoriza $- 8$ de $- 8$ .

$y = - \frac{{(x - \frac{3}{2})}^{2}}{4} + \frac{- 8 (1)}{- 16}$

Paso 1.4.3.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.3.1.3.2.1

Factoriza $- 8$ de $- 16$ .

$y = - \frac{{(x - \frac{3}{2})}^{2}}{4} + \frac{- 8 \cdot 1}{- 8 \cdot 2}$

Paso 1.4.3.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$y = - \frac{{(x - \frac{3}{2})}^{2}}{4} + \frac{- 8 \cdot 1}{- 8 \cdot 2}$

Paso 1.4.3.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$y = - \frac{{(x - \frac{3}{2})}^{2}}{4} + \frac{1}{2}$

Paso 1.5

Reordena los términos.

$y = - \frac{1}{4} \cdot {(x - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{1}{2}$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = - \frac{1}{4}$

$h = \frac{3}{2}$

$k = \frac{1}{2}$

Paso 3

Como el valor de $a$ es negativo, la parábola se abre hacia abajo.

Abre hacia abajo

Paso 4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$

Paso 5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 5.3.1.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Paso 5.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{4})}$

Paso 5.3.2

Combina $4$ y $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{4}}$

Paso 5.3.3

Divide $4$ por $4$ .

$- \frac{1}{1}$

Paso 5.3.4

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 5.3.4.1

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{1}$

Paso 5.3.4.2

Reescribe la expresión.

$- 1 \cdot 1$

Paso 5.3.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 6

Obtén el foco.

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Paso 6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(\frac{3}{2}, - \frac{1}{2})$

Paso 7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = \frac{3}{2}$

Paso 8

Obtén la directriz.

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Paso 8.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = \frac{3}{2}$

Paso 9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$

Foco: $(\frac{3}{2}, - \frac{1}{2})$

Eje de simetría: $x = \frac{3}{2}$

Directriz: $y = \frac{3}{2}$

Paso 10