Precálculo Ejemplos

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{36} + \frac{y - 4^{2}}{32} = 1$

Paso 1

Aísla $y$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Simplifica $\frac{{(x + 3)}^{2}}{36} + \frac{y - 4^{2}}{32}$ .

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Paso 1.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{36} + \frac{y - 1 \cdot 16}{32} = 1$

Paso 1.1.1.2

Multiplica $- 1$ por $16$ .

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{36} + \frac{y - 16}{32} = 1$

Paso 1.1.2

Para escribir $\frac{{(x + 3)}^{2}}{36}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{8}{8}$ .

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{36} \cdot \frac{8}{8} + \frac{y - 16}{32} = 1$

Paso 1.1.3

Para escribir $\frac{y - 16}{32}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{9}{9}$ .

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{36} \cdot \frac{8}{8} + \frac{y - 16}{32} \cdot \frac{9}{9} = 1$

Paso 1.1.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $288$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.1.4.1

Multiplica $\frac{{(x + 3)}^{2}}{36}$ por $\frac{8}{8}$ .

$\frac{{(x + 3)}^{2} \cdot 8}{36 \cdot 8} + \frac{y - 16}{32} \cdot \frac{9}{9} = 1$

Paso 1.1.4.2

Multiplica $36$ por $8$ .

$\frac{{(x + 3)}^{2} \cdot 8}{288} + \frac{y - 16}{32} \cdot \frac{9}{9} = 1$

Paso 1.1.4.3

Multiplica $\frac{y - 16}{32}$ por $\frac{9}{9}$ .

$\frac{{(x + 3)}^{2} \cdot 8}{288} + \frac{(y - 16) \cdot 9}{32 \cdot 9} = 1$

Paso 1.1.4.4

Multiplica $32$ por $9$ .

$\frac{{(x + 3)}^{2} \cdot 8}{288} + \frac{(y - 16) \cdot 9}{288} = 1$

Paso 1.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{{(x + 3)}^{2} \cdot 8 + (y - 16) \cdot 9}{288} = 1$

Paso 1.1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.6.1

Mueve $8$ a la izquierda de ${(x + 3)}^{2}$ .

$\frac{8 \cdot {(x + 3)}^{2} + (y - 16) \cdot 9}{288} = 1$

Paso 1.1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{8 {(x + 3)}^{2} + y \cdot 9 - 16 \cdot 9}{288} = 1$

Paso 1.1.6.3

Mueve $9$ a la izquierda de $y$ .

$\frac{8 {(x + 3)}^{2} + 9 \cdot y - 16 \cdot 9}{288} = 1$

Paso 1.1.6.4

Multiplica $- 16$ por $9$ .

$\frac{8 {(x + 3)}^{2} + 9 y - 144}{288} = 1$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados por $288$ .

$\frac{8 {(x + 3)}^{2} + 9 y - 144}{288} \cdot 288 = 1 \cdot 288$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.1.1

Cancela el factor común de $288$ .

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Paso 1.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{8 {(x + 3)}^{2} + 9 y - 144}{288} \cdot 288 = 1 \cdot 288$

Paso 1.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$8 {(x + 3)}^{2} + 9 y - 144 = 1 \cdot 288$

Paso 1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.2.1

Multiplica $288$ por $1$ .

$8 {(x + 3)}^{2} + 9 y - 144 = 288$

Paso 1.4

Resuelve $y$

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Paso 1.4.1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.4.1.1

Resta $8 {(x + 3)}^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$9 y - 144 = 288 - 8 {(x + 3)}^{2}$

Paso 1.4.1.2

Suma $144$ a ambos lados de la ecuación.

$9 y = 288 - 8 {(x + 3)}^{2} + 144$

Paso 1.4.1.3

Suma $288$ y $144$ .

$9 y = - 8 {(x + 3)}^{2} + 432$

Paso 1.4.2

Divide cada término en $9 y = - 8 {(x + 3)}^{2} + 432$ por $9$ y simplifica.

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Paso 1.4.2.1

Divide cada término en $9 y = - 8 {(x + 3)}^{2} + 432$ por $9$ .

$\frac{9 y}{9} = \frac{- 8 {(x + 3)}^{2}}{9} + \frac{432}{9}$

Paso 1.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.4.2.2.1

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 1.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 y}{9} = \frac{- 8 {(x + 3)}^{2}}{9} + \frac{432}{9}$

Paso 1.4.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 8 {(x + 3)}^{2}}{9} + \frac{432}{9}$

Paso 1.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.4.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.2.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{8 {(x + 3)}^{2}}{9} + \frac{432}{9}$

Paso 1.4.2.3.1.2

Divide $432$ por $9$ .

$y = - \frac{8 {(x + 3)}^{2}}{9} + 48$

Paso 1.5

Reordena los términos.

$y = - \frac{8}{9} \cdot {(x + 3)}^{2} + 48$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = - \frac{8}{9}$

$h = - 3$

$k = 48$

Paso 3

Como el valor de $a$ es negativo, la parábola se abre hacia abajo.

Abre hacia abajo

Paso 4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(- 3, 48)$

Paso 5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{8}{9})}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 5.3.1.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{8}{9})}$

Paso 5.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{4 (\frac{8}{9})}$

Paso 5.3.2

Combina $4$ y $\frac{8}{9}$ .

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 8}{9}}$

Paso 5.3.3

Multiplica $4$ por $8$ .

$- \frac{1}{\frac{32}{9}}$

Paso 5.3.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- (1 (\frac{9}{32}))$

Paso 5.3.5

Multiplica $\frac{9}{32}$ por $1$ .

$- \frac{9}{32}$

Paso 6

Obtén el foco.

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Paso 6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 3, \frac{1527}{32})$

Paso 7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = - 3$

Paso 8

Obtén la directriz.

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Paso 8.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = \frac{1545}{32}$

Paso 9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(- 3, 48)$

Foco: $(- 3, \frac{1527}{32})$

Eje de simetría: $x = - 3$

Directriz: $y = \frac{1545}{32}$

Paso 10