Precálculo Ejemplos

${(y - 1)}^{2} = \frac{9}{4} \cdot (x + 1)$

Paso 1

Aísla $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Reescribe la ecuación como $\frac{9}{4} \cdot (x + 1) = {(y - 1)}^{2}$ .

$\frac{9}{4} \cdot (x + 1) = {(y - 1)}^{2}$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{4}{9}$ .

$\frac{4}{9} (\frac{9}{4} \cdot (x + 1)) = \frac{4}{9} {(y - 1)}^{2}$

Paso 1.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 1.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.1.1

Simplifica $\frac{4}{9} (\frac{9}{4} \cdot (x + 1))$ .

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Paso 1.3.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4}{9} (\frac{9}{4} x + \frac{9}{4} \cdot 1) = \frac{4}{9} {(y - 1)}^{2}$

Paso 1.3.1.1.2

Combina $\frac{9}{4}$ y $x$ .

$\frac{4}{9} (\frac{9 x}{4} + \frac{9}{4} \cdot 1) = \frac{4}{9} {(y - 1)}^{2}$

Paso 1.3.1.1.3

Multiplica $\frac{9}{4}$ por $1$ .

$\frac{4}{9} (\frac{9 x}{4} + \frac{9}{4}) = \frac{4}{9} {(y - 1)}^{2}$

Paso 1.3.1.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4}{9} \cdot \frac{9 x}{4} + \frac{4}{9} \cdot \frac{9}{4} = \frac{4}{9} {(y - 1)}^{2}$

Paso 1.3.1.1.5

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.3.1.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{4}{9} \cdot \frac{9 x}{4} + \frac{4}{9} \cdot \frac{9}{4} = \frac{4}{9} {(y - 1)}^{2}$

Paso 1.3.1.1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{9} (9 x) + \frac{4}{9} \cdot \frac{9}{4} = \frac{4}{9} {(y - 1)}^{2}$

Paso 1.3.1.1.6

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 1.3.1.1.6.1

Factoriza $9$ de $9 x$ .

$\frac{1}{9} (9 (x)) + \frac{4}{9} \cdot \frac{9}{4} = \frac{4}{9} {(y - 1)}^{2}$

Paso 1.3.1.1.6.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{9} (9 x) + \frac{4}{9} \cdot \frac{9}{4} = \frac{4}{9} {(y - 1)}^{2}$

Paso 1.3.1.1.6.3

Reescribe la expresión.

$x + \frac{4}{9} \cdot \frac{9}{4} = \frac{4}{9} {(y - 1)}^{2}$

Paso 1.3.1.1.7

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.3.1.1.7.1

Cancela el factor común.

$x + \frac{4}{9} \cdot \frac{9}{4} = \frac{4}{9} {(y - 1)}^{2}$

Paso 1.3.1.1.7.2

Reescribe la expresión.

$x + \frac{1}{9} \cdot 9 = \frac{4}{9} {(y - 1)}^{2}$

Paso 1.3.1.1.8

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 1.3.1.1.8.1

Cancela el factor común.

$x + \frac{1}{9} \cdot 9 = \frac{4}{9} {(y - 1)}^{2}$

Paso 1.3.1.1.8.2

Reescribe la expresión.

$x + 1 = \frac{4}{9} {(y - 1)}^{2}$

Paso 1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.2.1

Combina $\frac{4}{9}$ y ${(y - 1)}^{2}$ .

$x + 1 = \frac{4 {(y - 1)}^{2}}{9}$

Paso 1.4

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = \frac{4 {(y - 1)}^{2}}{9} - 1$

Paso 1.5

Reordena los términos.

$x = \frac{4}{9} \cdot {(y - 1)}^{2} - 1$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = \frac{4}{9}$

$h = - 1$

$k = 1$

Paso 3

Como el valor de $a$ es positivo, la parábola se abre hacia la derecha.

Abre a la derecha

Paso 4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(- 1, 1)$

Paso 5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{4}{9}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Combina $4$ y $\frac{4}{9}$ .

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 4}{9}}$

Paso 5.3.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{1}{\frac{16}{9}}$

Paso 5.3.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$1 (\frac{9}{16})$

Paso 5.3.4

Multiplica $\frac{9}{16}$ por $1$ .

$\frac{9}{16}$

Paso 6

Obtén el foco.

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Paso 6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada x $h$ si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$(h + p, k)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- \frac{7}{16}, 1)$

Paso 7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$y = 1$

Paso 8

Obtén la directriz.

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Paso 8.1

La directriz de una parábola es la recta vertical que se obtiene al restar $p$ de la coordenada x $h$ del vértice si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$x = h - p$

Paso 8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $h$ en la fórmula y simplifica.

$x = - \frac{25}{16}$

Paso 9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre a la derecha

Vértice: $(- 1, 1)$

Foco: $(- \frac{7}{16}, 1)$

Eje de simetría: $y = 1$

Directriz: $x = - \frac{25}{16}$

Paso 10