Precálculo Ejemplos

$\log_{b} (9) = 3.1699$ , $\log_{b} (5) = 2.2319$

Paso 1

Reescribe $\log_{b} (9) = 3.1699$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$b^{3.1699} = 9$

Paso 2

Resuelve $b$

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Paso 2.1

Convierte el exponente con decimales en un exponente fraccionario.

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Paso 2.1.1

Convierte el número decimal a fracción mediante la colocación del número decimal sobre una potencia de diez. Dado que hay $4$ números a la derecha de la coma decimal, coloca el número decimal sobre $10^{4}$ $(10000)$ . Luego, agrega el número entero a la izquierda del decimal.

$b^{3 \frac{1699}{10000}} = 9$

Paso 2.1.2

Convierte $3 \frac{1699}{10000}$ en una fracción impropia.

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Paso 2.1.2.1

Un número mixto es una suma de sus partes entera y fraccionaria.

$b^{3 + \frac{1699}{10000}} = 9$

Paso 2.1.2.2

Suma $3$ y $\frac{1699}{10000}$ .

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Paso 2.1.2.2.1

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{10000}{10000}$ .

$b^{3 \cdot \frac{10000}{10000} + \frac{1699}{10000}} = 9$

Paso 2.1.2.2.2

Combina $3$ y $\frac{10000}{10000}$ .

$b^{\frac{3 \cdot 10000}{10000} + \frac{1699}{10000}} = 9$

Paso 2.1.2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$b^{\frac{3 \cdot 10000 + 1699}{10000}} = 9$

Paso 2.1.2.2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.2.2.4.1

Multiplica $3$ por $10000$ .

$b^{\frac{30000 + 1699}{10000}} = 9$

Paso 2.1.2.2.4.2

Suma $30000$ y $1699$ .

$b^{\frac{31699}{10000}} = 9$

Paso 2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $\frac{1}{3.1699}$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(b^{\frac{31699}{10000}})}^{\frac{1}{3.1699}} = 9^{\frac{1}{3.1699}}$

Paso 2.3

Simplifica el exponente.

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Paso 2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.1.1

Simplifica ${(b^{\frac{31699}{10000}})}^{\frac{1}{3.1699}}$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(b^{\frac{31699}{10000}})}^{\frac{1}{3.1699}}$ .

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Paso 2.3.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$b^{\frac{31699}{10000} \cdot \frac{1}{3.1699}} = 9^{\frac{1}{3.1699}}$

Paso 2.3.1.1.1.2

Cancela el factor común de $3.1699$ .

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Paso 2.3.1.1.1.2.1

Factoriza $3.1699$ de $31699$ .

$b^{\frac{3.1699 (10000)}{10000} \cdot \frac{1}{3.1699}} = 9^{\frac{1}{3.1699}}$

Paso 2.3.1.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$b^{\frac{3.1699 \cdot 10000}{10000} \cdot \frac{1}{3.1699}} = 9^{\frac{1}{3.1699}}$

Paso 2.3.1.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$b^{\frac{10000}{10000}} = 9^{\frac{1}{3.1699}}$

Paso 2.3.1.1.1.3

Divide $10000$ por $10000$ .

$b^{1} = 9^{\frac{1}{3.1699}}$

Paso 2.3.1.1.2

Simplifica.

$b = 9^{\frac{1}{3.1699}}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.2.1

Simplifica $9^{\frac{1}{3.1699}}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Divide $1$ por $3.1699$ .

$b = 9^{0.31546736}$

Paso 2.3.2.1.2

Eleva $9$ a la potencia de $0.31546736$ .

$b = 2.00001093$

Paso 3

Reemplaza todos los casos de $b$ en $\log_{b} (5) = 2.2319$ por $2.00001093$ .

$\log_{2.00001093} (5) = 2.2319$

$b = 2.00001093$

Paso 4

Como $\log_{2.00001093} (5) = 2.2319$ no es verdadera, no hay una solución.

No hay solución