Precálculo Ejemplos

$y > 4^{x}$ , $y < 8 - x^{2}$ , $x + y > 0$

Paso 1

Simplifica la primera desigualdad.

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Paso 1.1

Reescribe para que $x$ quede en el lado izquierdo de la desigualdad.

$4^{x} < y$ y $y < 8 - x^{2}$

Paso 1.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (4^{x}) < \ln (y)$ y $y < 8 - x^{2}$

Paso 1.3

Expande $\ln (4^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (4) < \ln (y)$ y $y < 8 - x^{2}$

Paso 1.4

Divide cada término en $x \ln (4) < \ln (y)$ por $\ln (4)$ y simplifica.

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Paso 1.4.1

Divide cada término en $x \ln (4) < \ln (y)$ por $\ln (4)$ .

$\frac{x \ln (4)}{\ln (4)} < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ y $y < 8 - x^{2}$

Paso 1.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.4.2.1

Cancela el factor común de $\ln (4)$ .

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Paso 1.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \ln (4)}{\ln (4)} < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ y $y < 8 - x^{2}$

Paso 1.4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ y $y < 8 - x^{2}$

Paso 2

Simplifica la segunda desigualdad.

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Paso 2.1

Reescribe para que $x$ quede en el lado izquierdo de la desigualdad.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ y $8 - x^{2} > y$

Paso 2.2

Resta $8$ de ambos lados de la desigualdad.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ y $- x^{2} > y - 8$

Paso 2.3

Divide cada término en $- x^{2} > y - 8$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 2.3.1

Divide cada término de $- x^{2} > y - 8$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ y $\frac{- x^{2}}{- 1} < \frac{y}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ y $\frac{x^{2}}{1} < \frac{y}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Paso 2.3.2.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ y $x^{2} < \frac{y}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{y}{- 1}$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ y $x^{2} < - 1 \cdot y + \frac{- 8}{- 1}$

Paso 2.3.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot y$ como $- y$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ y $x^{2} < - y + \frac{- 8}{- 1}$

Paso 2.3.3.1.3

Divide $- 8$ por $- 1$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ y $x^{2} < - y + 8$

Paso 2.4

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ y $\sqrt{x^{2}} < \sqrt{- y + 8}$

Paso 2.5

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.1

Retira los términos de abajo del radical.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ y $| x | < \sqrt{- y + 8}$

Paso 2.6

Escribe $| x | < \sqrt{- y + 8}$ como una función definida por partes.

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Paso 2.6.1

Para obtener el intervalo de la primera parte, obtén dónde el interior del valor absoluto no es negativo.

$x \geq 0$

Paso 2.6.2

En la parte donde $x$ no es negativa, elimina el valor absoluto.

$x < \sqrt{- y + 8}$

Paso 2.6.3

Obtén el dominio de $x < \sqrt{- y + 8}$ y obtén la intersección con $x \geq 0$ .

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Paso 2.6.3.1

Obtén el dominio de $x < \sqrt{- y + 8}$ .

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Paso 2.6.3.1.1

Establece el radicando en $\sqrt{- y + 8}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$- y + 8 \geq 0$

Paso 2.6.3.1.2

Resuelve $x$

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Paso 2.6.3.1.2.1

Resta $8$ de ambos lados de la desigualdad.

$- y \geq - 8$

Paso 2.6.3.1.2.2

Divide cada término en $- y \geq - 8$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 2.6.3.1.2.2.1

Divide cada término de $- y \geq - 8$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- y}{- 1} \leq \frac{- 8}{- 1}$

Paso 2.6.3.1.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.6.3.1.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{y}{1} \leq \frac{- 8}{- 1}$

Paso 2.6.3.1.2.2.2.2

Divide $y$ por $1$ .

$y \leq \frac{- 8}{- 1}$

Paso 2.6.3.1.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.6.3.1.2.2.3.1

Divide $- 8$ por $- 1$ .

$y \leq 8$

Paso 2.6.3.1.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 8]$

Paso 2.6.3.2

Obtén la intersección de $x \geq 0$ y $(- \infty, 8]$ .

$0 \leq x \leq 8$

Paso 2.6.4

Para obtener el intervalo de la segunda parte, obtén dónde el interior del valor absoluto es negativo.

$x < 0$

Paso 2.6.5

En la parte donde $x$ es negativa, elimina el valor absoluto y multiplica por $- 1$ .

$- x < \sqrt{- y + 8}$

Paso 2.6.6

Obtén el dominio de $- x < \sqrt{- y + 8}$ y obtén la intersección con $x < 0$ .

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Paso 2.6.6.1

Obtén el dominio de $- x < \sqrt{- y + 8}$ .

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Paso 2.6.6.1.1

Establece el radicando en $\sqrt{- y + 8}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$- y + 8 \geq 0$

Paso 2.6.6.1.2

Resuelve $x$

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Paso 2.6.6.1.2.1

Resta $8$ de ambos lados de la desigualdad.

$- y \geq - 8$

Paso 2.6.6.1.2.2

Divide cada término en $- y \geq - 8$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 2.6.6.1.2.2.1

Divide cada término de $- y \geq - 8$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- y}{- 1} \leq \frac{- 8}{- 1}$

Paso 2.6.6.1.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.6.6.1.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{y}{1} \leq \frac{- 8}{- 1}$

Paso 2.6.6.1.2.2.2.2

Divide $y$ por $1$ .

$y \leq \frac{- 8}{- 1}$

Paso 2.6.6.1.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.6.6.1.2.2.3.1

Divide $- 8$ por $- 1$ .

$y \leq 8$

Paso 2.6.6.1.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 8]$

Paso 2.6.6.2

Obtén la intersección de $x < 0$ y $(- \infty, 8]$ .

$x < 0$

Paso 2.6.7

Escribe como una función definida por partes.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ y ${\begin{cases} x < \sqrt{- y + 8} & 0 \leq x \leq 8 \\ - x < \sqrt{- y + 8} & x < 0 \end{cases}$

Paso 2.7

Resuelve $x < \sqrt{- y + 8}$ cuando $0 \leq x \leq 8$ .

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Paso 2.7.1

Resuelve $x < \sqrt{- y + 8}$ en $y$ .

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Paso 2.7.1.1

Reescribe para que $y$ quede en el lado izquierdo de la desigualdad.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ y $\sqrt{- y + 8} > x$

Paso 2.7.1.2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la desigualdad, eleva al cuadrado ambos lados de la desigualdad.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ y ${\sqrt{- y + 8}}^{2} > x^{2}$

Paso 2.7.1.3

Simplifica cada lado de la desigualdad.

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Paso 2.7.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{- y + 8}$ como ${(- y + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ y ${({(- y + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > x^{2}$

Paso 2.7.1.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.7.1.3.2.1

Simplifica ${({(- y + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.7.1.3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(- y + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.7.1.3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ y ${(- y + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > x^{2}$

Paso 2.7.1.3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.7.1.3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ y ${(- y + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > x^{2}$

Paso 2.7.1.3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ y $- y + 8 > x^{2}$

Paso 2.7.1.3.2.1.2

Simplifica.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ y $- y + 8 > x^{2}$

Paso 2.7.1.4

Resuelve $y$

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Paso 2.7.1.4.1

Resta $8$ de ambos lados de la desigualdad.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ y $- y > x^{2} - 8$

Paso 2.7.1.4.2

Divide cada término en $- y > x^{2} - 8$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 2.7.1.4.2.1

Divide cada término de $- y > x^{2} - 8$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ y $\frac{- y}{- 1} < \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Paso 2.7.1.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.7.1.4.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ y $\frac{y}{1} < \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Paso 2.7.1.4.2.2.2

Divide $y$ por $1$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ y $y < \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Paso 2.7.1.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.7.1.4.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.7.1.4.2.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{x^{2}}{- 1}$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ y $y < - 1 \cdot x^{2} + \frac{- 8}{- 1}$

Paso 2.7.1.4.2.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ y $y < - x^{2} + \frac{- 8}{- 1}$

Paso 2.7.1.4.2.3.1.3

Divide $- 8$ por $- 1$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ y $y < - x^{2} + 8$

Paso 2.7.2

Obtén la intersección de $y < - x^{2} + 8$ y $0 \leq x \leq 8$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ and $0 \leq x \leq N o$ Minimum

Paso 2.8

Resuelve $- x < \sqrt{- y + 8}$ cuando $x < 0$ .

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Paso 2.8.1

Resuelve $- x < \sqrt{- y + 8}$ en $y$ .

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Paso 2.8.1.1

Reescribe para que $y$ quede en el lado izquierdo de la desigualdad.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ y $\sqrt{- y + 8} > - x$

Paso 2.8.1.2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la desigualdad, eleva al cuadrado ambos lados de la desigualdad.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ y ${\sqrt{- y + 8}}^{2} > {(- x)}^{2}$

Paso 2.8.1.3

Simplifica cada lado de la desigualdad.

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Paso 2.8.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{- y + 8}$ como ${(- y + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ y ${({(- y + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > {(- x)}^{2}$

Paso 2.8.1.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.8.1.3.2.1

Simplifica ${({(- y + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.8.1.3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(- y + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.8.1.3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ y ${(- y + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(- x)}^{2}$

Paso 2.8.1.3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.8.1.3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ y ${(- y + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(- x)}^{2}$

Paso 2.8.1.3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ y $- y + 8 > {(- x)}^{2}$

Paso 2.8.1.3.2.1.2

Simplifica.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ y $- y + 8 > {(- x)}^{2}$

Paso 2.8.1.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.8.1.3.3.1

Simplifica ${(- x)}^{2}$ .

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Paso 2.8.1.3.3.1.1

Aplica la regla del producto a $- x$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ y $- y + 8 > {(- 1)}^{2} x^{2}$

Paso 2.8.1.3.3.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ y $- y + 8 > 1 x^{2}$

Paso 2.8.1.3.3.1.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ y $- y + 8 > x^{2}$

Paso 2.8.1.4

Resuelve $y$

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Paso 2.8.1.4.1

Resta $8$ de ambos lados de la desigualdad.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ y $- y > x^{2} - 8$

Paso 2.8.1.4.2

Divide cada término en $- y > x^{2} - 8$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 2.8.1.4.2.1

Divide cada término de $- y > x^{2} - 8$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ y $\frac{- y}{- 1} < \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Paso 2.8.1.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.8.1.4.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ y $\frac{y}{1} < \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Paso 2.8.1.4.2.2.2

Divide $y$ por $1$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ y $y < \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Paso 2.8.1.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.8.1.4.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.8.1.4.2.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{x^{2}}{- 1}$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ y $y < - 1 \cdot x^{2} + \frac{- 8}{- 1}$

Paso 2.8.1.4.2.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ y $y < - x^{2} + \frac{- 8}{- 1}$

Paso 2.8.1.4.2.3.1.3

Divide $- 8$ por $- 1$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ y $y < - x^{2} + 8$

Paso 2.8.2

Obtén la intersección de $y < - x^{2} + 8$ y $x < 0$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ and $x < N o$ Minimum

Paso 2.9

Obtén la unión de las soluciones.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ and $x < N o$ Maximum

Paso 3