Precálculo Ejemplos

$\cot (x) > 0$ , $\cos (x) > 0$

Paso 1

Simplifica la primera desigualdad.

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Paso 1.1

Resta la inversa de la cotangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la cotangente.

$x > arccot (0)$ y $\cos (x) > 0$

Paso 1.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.1

El valor exacto de $arccot (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$x > \frac{π}{2}$ y $\cos (x) > 0$

Paso 1.3

La función cotangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = π + \frac{π}{2}$ y $\cos (x) > 0$

Paso 1.4

Simplifica $π + \frac{π}{2}$ .

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Paso 1.4.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$ y $\cos (x) > 0$

Paso 1.4.2

Combina fracciones.

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Paso 1.4.2.1

Combina $π$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$ y $\cos (x) > 0$

Paso 1.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$ y $\cos (x) > 0$

Paso 1.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.4.3.1

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$ y $\cos (x) > 0$

Paso 1.4.3.2

Suma $2 π$ y $π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$ y $\cos (x) > 0$

Paso 1.5

Obtén el período de $\cot (x)$ .

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Paso 1.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 1.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Paso 1.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 1.5.4

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 1.6

El período de la función $\cot (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ y $\cos (x) > 0$

Paso 1.7

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π}{2} + π n$ y $\cos (x) > 0$

Paso 1.8

Obtén el dominio de $\cot (x)$ .

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Paso 1.8.1

Establece el argumento en $\cot (x)$ igual que $π n$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x = π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 1.8.2

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

${x | x \neq π n}$ $n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 1.9

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$0 < x < \frac{π}{2}$

$\frac{π}{2} < x < π$

$π < x < \frac{3 π}{2}$ y $\cos (x) > 0$

Paso 1.10

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 1.10.1

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < \frac{π}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.10.1.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < \frac{π}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 1$ y $\cos (x) > 0$

Paso 1.10.1.2

Reemplaza $x$ con $1$ en la desigualdad original.

$\cot (1) > 0$ y $\cos (x) > 0$

Paso 1.10.1.3

$0.64209261$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero y $\cos (x) > 0$

Paso 1.10.2

Prueba un valor en el intervalo $\frac{π}{2} < x < π$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.10.2.1

Elije un valor en el intervalo $\frac{π}{2} < x < π$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$ y $\cos (x) > 0$

Paso 1.10.2.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

$\cot (2) > 0$ y $\cos (x) > 0$

Paso 1.10.2.3

$- 0.45765755$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso y $\cos (x) > 0$

Paso 1.10.3

Prueba un valor en el intervalo $π < x < \frac{3 π}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.10.3.1

Elije un valor en el intervalo $π < x < \frac{3 π}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$ y $\cos (x) > 0$

Paso 1.10.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$\cot (4) > 0$ y $\cos (x) > 0$

Paso 1.10.3.3

$0.86369115$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero y $\cos (x) > 0$

Paso 1.10.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$0 < x < \frac{π}{2}$ Verdadero

$\frac{π}{2} < x < π$ Falso

$π < x < \frac{3 π}{2}$ True and $\cos (x) > 0$

$0 < x < \frac{π}{2}$ Verdadero

$\frac{π}{2} < x < π$ Falso

$π < x < \frac{3 π}{2}$ True and $\cos (x) > 0$

Paso 1.11

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$0 + π n < x < \frac{π}{2} + π n$ o $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ y $\cos (x) > 0$

Paso 1.12

Combina los intervalos.

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ o $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ y $\cos (x) > 0$

Paso 2

Simplifica la segunda desigualdad.

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Paso 2.1

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ o $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ y $x > \arccos (0)$

Paso 2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.1

El valor exacto de $\arccos (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ o $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ y $x > \frac{π}{2}$

Paso 2.3

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ o $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ y $x = 2 π - \frac{π}{2}$

Paso 2.4

Simplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Paso 2.4.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ o $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ y $x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 2.4.2

Combina fracciones.

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Paso 2.4.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ o $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ y $x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 2.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ o $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ y $x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 2.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.3.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ o $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ y $x = \frac{4 π - π}{2}$

Paso 2.4.3.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ o $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ y $x = \frac{3 π}{2}$

Paso 2.5

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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Paso 2.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 2.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 2.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 2.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 2.6

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ o $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ y $x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$

Paso 2.7

Consolida las respuestas.

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ o $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ y $x = \frac{π}{2} + π n$

Paso 2.8

Obtén el dominio de $\cot (x)$ .

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Paso 2.8.1

Establece el argumento en $\cot (x)$ igual que $π n$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x = π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.8.2

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

${x | x \neq π n}$ $n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.9

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ o $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ y $0 < x < \frac{π}{2}$

$\frac{π}{2} < x < π$

$π < x < \frac{3 π}{2}$

$\frac{3 π}{2} < x < 2 π$

$2 π < x < \frac{5 π}{2}$

Paso 2.10

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 2.10.1

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < \frac{π}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.10.1.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < \frac{π}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ o $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ y $x = 1$

Paso 2.10.1.2

Reemplaza $x$ con $1$ en la desigualdad original.

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ o $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ y $\cot (1) > 0$

Paso 2.10.1.3

$0.64209261$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ or $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ and True

Paso 2.10.2

Prueba un valor en el intervalo $\frac{π}{2} < x < π$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.10.2.1

Elije un valor en el intervalo $\frac{π}{2} < x < π$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ o $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ y $x = 2$

Paso 2.10.2.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ o $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ y $\cot (2) > 0$

Paso 2.10.2.3

$- 0.45765755$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ or $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ and False

Paso 2.10.3

Prueba un valor en el intervalo $π < x < \frac{3 π}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.10.3.1

Elije un valor en el intervalo $π < x < \frac{3 π}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ o $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ y $x = 4$

Paso 2.10.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ o $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ y $\cot (4) > 0$

Paso 2.10.3.3

$0.86369115$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ or $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ and True

Paso 2.10.4

Prueba un valor en el intervalo $\frac{3 π}{2} < x < 2 π$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.10.4.1

Elije un valor en el intervalo $\frac{3 π}{2} < x < 2 π$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ o $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ y $x = 5$

Paso 2.10.4.2

Reemplaza $x$ con $5$ en la desigualdad original.

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ o $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ y $\cot (5) > 0$

Paso 2.10.4.3

$- 0.29581291$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ or $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ and False

Paso 2.10.5

Prueba un valor en el intervalo $2 π < x < \frac{5 π}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.10.5.1

Elije un valor en el intervalo $2 π < x < \frac{5 π}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ o $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ y $x = 7$

Paso 2.10.5.2

Reemplaza $x$ con $7$ en la desigualdad original.

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ o $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ y $\cot (7) > 0$

Paso 2.10.5.3

$1.14751542$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ or $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ and True

Paso 2.10.6

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ or $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ and $0 < x < \frac{π}{2}$ True

$\frac{π}{2} < x < π$ Falso

$π < x < \frac{3 π}{2}$ Verdadero

$\frac{3 π}{2} < x < 2 π$ Falso

$2 π < x < \frac{5 π}{2}$ Verdadero

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ or $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ and $0 < x < \frac{π}{2}$ True

$\frac{π}{2} < x < π$ Falso

$π < x < \frac{3 π}{2}$ Verdadero

$\frac{3 π}{2} < x < 2 π$ Falso

$2 π < x < \frac{5 π}{2}$ Verdadero

Paso 2.11

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ or $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ and $0 + 2 π n < x < \frac{π}{2} + 2 π n$ or $π + 2 π n < x < \frac{3 π}{2} + 2 π n$ or $2 π + 2 π n < x < \frac{5 π}{2} + 2 π n$

Paso 2.12

Combina los intervalos.

$π n < x < \frac{π}{2} + π n$ or $π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ and $π + 2 π n < x < \frac{3 π}{2} + 2 π n$ or $2 π n < x < \frac{π}{2} + 2 π n$ or $2 π + 2 π n < x < \frac{5 π}{2} + 2 π n$

Paso 3