Precálculo Ejemplos

$x = t + \frac{1}{t}$ , $y = t - \frac{1}{t}$

Paso 1

Establece la ecuación paramétrica de $x (t)$ para resolver la ecuación de $t$ .

$x = t + \frac{1}{t}$

Paso 2

Reescribe la ecuación como $t + \frac{1}{t} = x$ .

$t + \frac{1}{t} = x$

Paso 3

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, t, 1$

Paso 3.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$t$

Paso 4

Multiplica cada término en $t + \frac{1}{t} = x$ por $t$ para eliminar las fracciones.

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Paso 4.1

Multiplica cada término en $t + \frac{1}{t} = x$ por $t$ .

$t \cdot t + \frac{1}{t} t = x t$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Multiplica $t$ por $t$ .

$t^{2} + \frac{1}{t} t = x t$

Paso 4.2.1.2

Cancela el factor común de $t$ .

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Paso 4.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$t^{2} + \frac{1}{t} t = x t$

Paso 4.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$t^{2} + 1 = x t$

Paso 5

Resuelve la ecuación.

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Paso 5.1

Resta $x t$ de ambos lados de la ecuación.

$t^{2} + 1 - x t = 0$

Paso 5.2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 5.3

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - x$ y $c = 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $t$ .

$\frac{x \pm \sqrt{{(- x)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.4

Simplifica.

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Paso 5.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.4.1.1

Reescribe $4 \cdot 1 \cdot 1$ como ${(2 \cdot 1 \cdot 1)}^{2}$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{{(- x)}^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.4.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = - x$ y $b = 2 \cdot 1 \cdot 1$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2 \cdot 1 \cdot 1) (- x - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.4.1.3

Simplifica.

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Paso 5.4.1.3.1

Multiplica $2 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Paso 5.4.1.3.1.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2 \cdot 1) (- x - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.4.1.3.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2) (- x - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.4.1.3.2

Multiplica $- (2 \cdot 1 \cdot 1)$ .

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Paso 5.4.1.3.2.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2) (- x - (2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.4.1.3.2.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2) (- x - 1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.4.1.3.2.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2}$

Paso 5.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 5.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.5.1.1

Reescribe $4 \cdot 1 \cdot 1$ como ${(2 \cdot 1 \cdot 1)}^{2}$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{{(- x)}^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = - x$ y $b = 2 \cdot 1 \cdot 1$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2 \cdot 1 \cdot 1) (- x - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.1.3

Simplifica.

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Paso 5.5.1.3.1

Multiplica $2 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Paso 5.5.1.3.1.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2 \cdot 1) (- x - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.1.3.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2) (- x - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.1.3.2

Multiplica $- (2 \cdot 1 \cdot 1)$ .

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Paso 5.5.1.3.2.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2) (- x - (2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.1.3.2.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2) (- x - 1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.1.3.2.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2}$

Paso 5.5.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$t = \frac{x + \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2}$

Paso 5.6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 5.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.6.1.1

Reescribe $4 \cdot 1 \cdot 1$ como ${(2 \cdot 1 \cdot 1)}^{2}$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{{(- x)}^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.6.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = - x$ y $b = 2 \cdot 1 \cdot 1$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2 \cdot 1 \cdot 1) (- x - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.6.1.3

Simplifica.

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Paso 5.6.1.3.1

Multiplica $2 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Paso 5.6.1.3.1.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2 \cdot 1) (- x - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.6.1.3.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2) (- x - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.6.1.3.2

Multiplica $- (2 \cdot 1 \cdot 1)$ .

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Paso 5.6.1.3.2.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2) (- x - (2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.6.1.3.2.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2) (- x - 1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.6.1.3.2.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.6.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2}$

Paso 5.6.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$t = \frac{x - \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2}$

Paso 5.7

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$t = \frac{x + \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2}$

$t = \frac{x - \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2}$

$t = \frac{x + \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2}$

$t = \frac{x - \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2}$

Paso 6

Reemplaza $t$ en la ecuación con $y$ para obtener la ecuación en términos de $x$ .

$y = (\frac{x + \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2}, \frac{x - \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2}) - \frac{1}{(\frac{x + \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2}, \frac{x - \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2})}$