Precálculo Ejemplos

$x = 4 \sqrt{4 - t^{2}}$ , $y = 3 (1 - \sqrt{4 - t^{2}})$

Paso 1

Establece la ecuación paramétrica de $x (t)$ para resolver la ecuación de $t$ .

$x = 4 \sqrt{4 - t^{2}}$

Paso 2

Reescribe la ecuación como $4 \sqrt{4 - t^{2}} = x$ .

$4 \sqrt{4 - t^{2}} = x$

Paso 3

Divide cada término en $4 \sqrt{4 - t^{2}} = x$ por $4$ y simplifica.

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Paso 3.1

Divide cada término en $4 \sqrt{4 - t^{2}} = x$ por $4$ .

$\frac{4 \sqrt{4 - t^{2}}}{4} = \frac{x}{4}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 3.2.1.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 \sqrt{4 - t^{2}}}{4} = \frac{x}{4}$

Paso 3.2.1.1.2

Divide $\sqrt{4 - t^{2}}$ por $1$ .

$\sqrt{4 - t^{2}} = \frac{x}{4}$

Paso 3.2.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} - t^{2}} = \frac{x}{4}$

Paso 3.2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 2$ y $b = t$ .

$\sqrt{(2 + t) (2 - t)} = \frac{x}{4}$

Paso 4

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{(2 + t) (2 - t)}}^{2} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Paso 5

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{(2 + t) (2 - t)}$ como ${((2 + t) (2 - t))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({((2 + t) (2 - t))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Simplifica ${({((2 + t) (2 - t))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 5.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({((2 + t) (2 - t))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 5.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${((2 + t) (2 - t))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Paso 5.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${((2 + t) (2 - t))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Paso 5.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${((2 + t) (2 - t))}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Paso 5.2.1.2

Expande $(2 + t) (2 - t)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

${(2 (2 - t) + t (2 - t))}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Paso 5.2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

${(2 \cdot 2 + 2 (- t) + t (2 - t))}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Paso 5.2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

${(2 \cdot 2 + 2 (- t) + t \cdot 2 + t (- t))}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Paso 5.2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.3.1.1

Multiplica $2$ por $2$ .

${(4 + 2 (- t) + t \cdot 2 + t (- t))}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Paso 5.2.1.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

${(4 - 2 t + t \cdot 2 + t (- t))}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Paso 5.2.1.3.1.3

Mueve $2$ a la izquierda de $t$ .

${(4 - 2 t + 2 \cdot t + t (- t))}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Paso 5.2.1.3.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

${(4 - 2 t + 2 t - t \cdot t)}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Paso 5.2.1.3.1.5

Multiplica $t$ por $t$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.1.3.1.5.1

Mueve $t$ .

${(4 - 2 t + 2 t - (t \cdot t))}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Paso 5.2.1.3.1.5.2

Multiplica $t$ por $t$ .

${(4 - 2 t + 2 t - t^{2})}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Paso 5.2.1.3.2

Suma $- 2 t$ y $2 t$ .

${(4 + 0 - t^{2})}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Paso 5.2.1.3.3

Suma $4$ y $0$ .

${(4 - t^{2})}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Paso 5.2.1.4

Simplifica.

$4 - t^{2} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Paso 5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.1

Simplifica ${(\frac{x}{4})}^{2}$ .

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Paso 5.3.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{x}{4}$ .

$4 - t^{2} = \frac{x^{2}}{4^{2}}$

Paso 5.3.1.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$4 - t^{2} = \frac{x^{2}}{16}$

Paso 6

Resuelve $t$

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Paso 6.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$- t^{2} = \frac{x^{2}}{16} - 4$

Paso 6.2

Divide cada término en $- t^{2} = \frac{x^{2}}{16} - 4$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 6.2.1

Divide cada término en $- t^{2} = \frac{x^{2}}{16} - 4$ por $- 1$ .

$\frac{- t^{2}}{- 1} = \frac{\frac{x^{2}}{16}}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{t^{2}}{1} = \frac{\frac{x^{2}}{16}}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

Paso 6.2.2.2

Divide $t^{2}$ por $1$ .

$t^{2} = \frac{\frac{x^{2}}{16}}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

Paso 6.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\frac{x^{2}}{16}}{- 1}$ .

$t^{2} = - 1 \cdot \frac{x^{2}}{16} + \frac{- 4}{- 1}$

Paso 6.2.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot \frac{x^{2}}{16}$ como $- \frac{x^{2}}{16}$ .

$t^{2} = - \frac{x^{2}}{16} + \frac{- 4}{- 1}$

Paso 6.2.3.1.3

Divide $- 4$ por $- 1$ .

$t^{2} = - \frac{x^{2}}{16} + 4$

Paso 6.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$t = \pm \sqrt{- \frac{x^{2}}{16} + 4}$

Paso 6.4

Simplifica $\pm \sqrt{- \frac{x^{2}}{16} + 4}$ .

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Paso 6.4.1

Simplifica la expresión.

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Paso 6.4.1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$t = \pm \sqrt{- \frac{x^{2}}{16} + 2^{2}}$

Paso 6.4.1.2

Reescribe $\frac{x^{2}}{16}$ como ${(\frac{x}{4})}^{2}$ .

$t = \pm \sqrt{- {(\frac{x}{4})}^{2} + 2^{2}}$

Paso 6.4.1.3

Reordena $- {(\frac{x}{4})}^{2}$ y $2^{2}$ .

$t = \pm \sqrt{2^{2} - {(\frac{x}{4})}^{2}}$

Paso 6.4.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 2$ y $b = \frac{x}{4}$ .

$t = \pm \sqrt{(2 + \frac{x}{4}) (2 - \frac{x}{4})}$

Paso 6.4.3

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$t = \pm \sqrt{(2 \cdot \frac{4}{4} + \frac{x}{4}) (2 - \frac{x}{4})}$

Paso 6.4.4

Combina $2$ y $\frac{4}{4}$ .

$t = \pm \sqrt{(\frac{2 \cdot 4}{4} + \frac{x}{4}) (2 - \frac{x}{4})}$

Paso 6.4.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$t = \pm \sqrt{\frac{2 \cdot 4 + x}{4} (2 - \frac{x}{4})}$

Paso 6.4.6

Multiplica $2$ por $4$ .

$t = \pm \sqrt{\frac{8 + x}{4} (2 - \frac{x}{4})}$

Paso 6.4.7

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$t = \pm \sqrt{\frac{8 + x}{4} (2 \cdot \frac{4}{4} - \frac{x}{4})}$

Paso 6.4.8

Combina $2$ y $\frac{4}{4}$ .

$t = \pm \sqrt{\frac{8 + x}{4} (\frac{2 \cdot 4}{4} - \frac{x}{4})}$

Paso 6.4.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$t = \pm \sqrt{\frac{8 + x}{4} \cdot \frac{2 \cdot 4 - x}{4}}$

Paso 6.4.10

Multiplica $2$ por $4$ .

$t = \pm \sqrt{\frac{8 + x}{4} \cdot \frac{8 - x}{4}}$

Paso 6.4.11

Multiplica $\frac{8 + x}{4}$ por $\frac{8 - x}{4}$ .

$t = \pm \sqrt{\frac{(8 + x) (8 - x)}{4 \cdot 4}}$

Paso 6.4.12

Multiplica $4$ por $4$ .

$t = \pm \sqrt{\frac{(8 + x) (8 - x)}{16}}$

Paso 6.4.13

Reescribe $\frac{(8 + x) (8 - x)}{16}$ como ${(\frac{1}{4})}^{2} ((8 + x) (8 - x))$ .

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Paso 6.4.13.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $(8 + x) (8 - x)$ .

$t = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((8 + x) (8 - x))}{16}}$

Paso 6.4.13.2

Factoriza la potencia perfecta $4^{2}$ de $16$ .

$t = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((8 + x) (8 - x))}{4^{2} \cdot 1}}$

Paso 6.4.13.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} ((8 + x) (8 - x))}{4^{2} \cdot 1}$ .

$t = \pm \sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} ((8 + x) (8 - x))}$

Paso 6.4.14

Retira los términos de abajo del radical.

$t = \pm \frac{1}{4} \sqrt{(8 + x) (8 - x)}$

Paso 6.4.15

Combina $\frac{1}{4}$ y $\sqrt{(8 + x) (8 - x)}$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

Paso 6.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 6.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$t = \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

Paso 6.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$t = - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

Paso 6.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$t = \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

$t = - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

$t = \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

$t = - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

$t = \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

$t = - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

Paso 7

Reemplaza $t$ en la ecuación con $y$ para obtener la ecuación en términos de $x$ .

$y = 3 (1 - \sqrt{4 - {(\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})}^{2}})$

Paso 8

Simplifica $3 (1 - \sqrt{4 - {(\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})}^{2}})$ .

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Paso 8.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = 3 (1 - \sqrt{2^{2} - {(\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})}^{2}})$

Paso 8.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 2$ y $b = (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})$ .

$y = 3 (1 - \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 - (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))})$

Paso 8.1.3

Simplifica.

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Paso 8.1.3.1

Multiplica $- 1$ por cada elemento de la matriz.

$y = 3 (1 - \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))})$

Paso 8.1.3.2

Multiplica $- - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$ .

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Paso 8.1.3.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y = 3 (1 - \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, 1 (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})))})$

Paso 8.1.3.2.2

Multiplica $\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$ por $1$ .

$y = 3 (1 - \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))})$

Paso 8.2

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 8.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = 3 \cdot 1 + 3 (- \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))})$

Paso 8.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 8.2.2.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$y = 3 + 3 (- \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))})$

Paso 8.2.2.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))}$

Paso 8.2.2.3

Reordena $8$ y $x$ .

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(x + 8) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))}$

Paso 8.2.2.4

Reordena $8$ y $- x$ .

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))}$

Paso 8.2.2.5

Reordena $8$ y $x$ .

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, - \frac{\sqrt{(x + 8) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))}$

Paso 8.2.2.6

Reordena $8$ y $- x$ .

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, - \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))}$

Paso 8.2.2.7

Reordena $8$ y $x$ .

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, - \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(x + 8) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))}$

Paso 8.2.2.8

Reordena $8$ y $- x$ .

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, - \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))}$

Paso 8.2.2.9

Reordena $8$ y $x$ .

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, - \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, \frac{\sqrt{(x + 8) (8 - x)}}{4}))}$

Paso 8.2.2.10

Reordena $8$ y $- x$ .

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, - \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}))}$