Precálculo Ejemplos

$x (t) = 2 - t$ , $y (t) = 2 t^{2} - t^{3}$

Paso 1

Establece la ecuación paramétrica de $x (t)$ para resolver la ecuación de $t$ .

$x = 2 - t$

Paso 2

Reescribe la ecuación como $2 - t = x$ .

$2 - t = x$

Paso 3

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$- t = x - 2$

Paso 4

Divide cada término en $- t = x - 2$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 4.1

Divide cada término en $- t = x - 2$ por $- 1$ .

$\frac{- t}{- 1} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{t}{1} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Paso 4.2.2

Divide $t$ por $1$ .

$t = \frac{x}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Paso 4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{x}{- 1}$ .

$t = - 1 \cdot x + \frac{- 2}{- 1}$

Paso 4.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot x$ como $- x$ .

$t = - x + \frac{- 2}{- 1}$

Paso 4.3.1.3

Divide $- 2$ por $- 1$ .

$t = - x + 2$

Paso 5

Reemplaza $t$ en la ecuación con $y$ para obtener la ecuación en términos de $x$ .

$y = 2 {(- x + 2)}^{2} - {(- x + 2)}^{3}$

Paso 6

Simplifica $2 {(- x + 2)}^{2} - {(- x + 2)}^{3}$ .

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Paso 6.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1

Reescribe ${(- x + 2)}^{2}$ como $(- x + 2) (- x + 2)$ .

$y = 2 ((- x + 2) (- x + 2)) - {(- x + 2)}^{3}$

Paso 6.1.2

Expande $(- x + 2) (- x + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = 2 (- x (- x + 2) + 2 (- x + 2)) - {(- x + 2)}^{3}$

Paso 6.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = 2 (- x (- x) - x \cdot 2 + 2 (- x + 2)) - {(- x + 2)}^{3}$

Paso 6.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = 2 (- x (- x) - x \cdot 2 + 2 (- x) + 2 \cdot 2) - {(- x + 2)}^{3}$

Paso 6.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = 2 (- 1 \cdot - 1 x \cdot x - x \cdot 2 + 2 (- x) + 2 \cdot 2) - {(- x + 2)}^{3}$

Paso 6.1.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.1.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$y = 2 (- 1 \cdot - 1 (x \cdot x) - x \cdot 2 + 2 (- x) + 2 \cdot 2) - {(- x + 2)}^{3}$

Paso 6.1.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = 2 (- 1 \cdot - 1 x^{2} - x \cdot 2 + 2 (- x) + 2 \cdot 2) - {(- x + 2)}^{3}$

Paso 6.1.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y = 2 (1 x^{2} - x \cdot 2 + 2 (- x) + 2 \cdot 2) - {(- x + 2)}^{3}$

Paso 6.1.3.1.4

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$y = 2 (x^{2} - x \cdot 2 + 2 (- x) + 2 \cdot 2) - {(- x + 2)}^{3}$

Paso 6.1.3.1.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y = 2 (x^{2} - 2 x + 2 (- x) + 2 \cdot 2) - {(- x + 2)}^{3}$

Paso 6.1.3.1.6

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$y = 2 (x^{2} - 2 x - 2 x + 2 \cdot 2) - {(- x + 2)}^{3}$

Paso 6.1.3.1.7

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = 2 (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) - {(- x + 2)}^{3}$

Paso 6.1.3.2

Resta $2 x$ de $- 2 x$ .

$y = 2 (x^{2} - 4 x + 4) - {(- x + 2)}^{3}$

Paso 6.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$y = 2 x^{2} + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 4 - {(- x + 2)}^{3}$

Paso 6.1.5

Simplifica.

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Paso 6.1.5.1

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$y = 2 x^{2} - 8 x + 2 \cdot 4 - {(- x + 2)}^{3}$

Paso 6.1.5.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$y = 2 x^{2} - 8 x + 8 - {(- x + 2)}^{3}$

Paso 6.1.6

Usa el teorema del binomio.

$y = 2 x^{2} - 8 x + 8 - ({(- x)}^{3} + 3 {(- x)}^{2} \cdot 2 + 3 (- x) \cdot 2^{2} + 2^{3})$

Paso 6.1.7

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.7.1

Aplica la regla del producto a $- x$ .

$y = 2 x^{2} - 8 x + 8 - ({(- 1)}^{3} x^{3} + 3 {(- x)}^{2} \cdot 2 + 3 (- x) \cdot 2^{2} + 2^{3})$

Paso 6.1.7.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$y = 2 x^{2} - 8 x + 8 - (- x^{3} + 3 {(- x)}^{2} \cdot 2 + 3 (- x) \cdot 2^{2} + 2^{3})$

Paso 6.1.7.3

Aplica la regla del producto a $- x$ .

$y = 2 x^{2} - 8 x + 8 - (- x^{3} + 3 ({(- 1)}^{2} x^{2}) \cdot 2 + 3 (- x) \cdot 2^{2} + 2^{3})$

Paso 6.1.7.4

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$y = 2 x^{2} - 8 x + 8 - (- x^{3} + 3 (1 x^{2}) \cdot 2 + 3 (- x) \cdot 2^{2} + 2^{3})$

Paso 6.1.7.5

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$y = 2 x^{2} - 8 x + 8 - (- x^{3} + 3 x^{2} \cdot 2 + 3 (- x) \cdot 2^{2} + 2^{3})$

Paso 6.1.7.6

Multiplica $2$ por $3$ .

$y = 2 x^{2} - 8 x + 8 - (- x^{3} + 6 x^{2} + 3 (- x) \cdot 2^{2} + 2^{3})$

Paso 6.1.7.7

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$y = 2 x^{2} - 8 x + 8 - (- x^{3} + 6 x^{2} - 3 x \cdot 2^{2} + 2^{3})$

Paso 6.1.7.8

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y = 2 x^{2} - 8 x + 8 - (- x^{3} + 6 x^{2} - 3 x \cdot 4 + 2^{3})$

Paso 6.1.7.9

Multiplica $4$ por $- 3$ .

$y = 2 x^{2} - 8 x + 8 - (- x^{3} + 6 x^{2} - 12 x + 2^{3})$

Paso 6.1.7.10

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$y = 2 x^{2} - 8 x + 8 - (- x^{3} + 6 x^{2} - 12 x + 8)$

Paso 6.1.8

Aplica la propiedad distributiva.

$y = 2 x^{2} - 8 x + 8 - - x^{3} - (6 x^{2}) - (- 12 x) - 1 \cdot 8$

Paso 6.1.9

Simplifica.

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Paso 6.1.9.1

Multiplica $- - x^{3}$ .

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Paso 6.1.9.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y = 2 x^{2} - 8 x + 8 + 1 x^{3} - (6 x^{2}) - (- 12 x) - 1 \cdot 8$

Paso 6.1.9.1.2

Multiplica $x^{3}$ por $1$ .

$y = 2 x^{2} - 8 x + 8 + x^{3} - (6 x^{2}) - (- 12 x) - 1 \cdot 8$

Paso 6.1.9.2

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$y = 2 x^{2} - 8 x + 8 + x^{3} - 6 x^{2} - (- 12 x) - 1 \cdot 8$

Paso 6.1.9.3

Multiplica $- 12$ por $- 1$ .

$y = 2 x^{2} - 8 x + 8 + x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 1 \cdot 8$

Paso 6.1.9.4

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$y = 2 x^{2} - 8 x + 8 + x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$

Paso 6.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 6.2.1

Combina los términos opuestos en $2 x^{2} - 8 x + 8 + x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ .

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Paso 6.2.1.1

Resta $8$ de $8$ .

$y = 2 x^{2} - 8 x + x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + 0$

Paso 6.2.1.2

Suma $2 x^{2} - 8 x + x^{3} - 6 x^{2} + 12 x$ y $0$ .

$y = 2 x^{2} - 8 x + x^{3} - 6 x^{2} + 12 x$

Paso 6.2.2

Resta $6 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$y = - 4 x^{2} - 8 x + x^{3} + 12 x$

Paso 6.2.3

Suma $- 8 x$ y $12 x$ .

$y = - 4 x^{2} + x^{3} + 4 x$

Paso 6.2.4

Reordena $- 4 x^{2}$ y $x^{3}$ .

$y = x^{3} - 4 x^{2} + 4 x$