Precálculo Ejemplos

$x (t) = \tan (t)$ , $y (t) = \sec^{2} (t)$

Paso 1

Establece la ecuación paramétrica de $x (t)$ para resolver la ecuación de $t$ .

$x = \tan (t)$

Paso 2

Reescribe la ecuación como $\tan (t) = x$ .

$\tan (t) = x$

Paso 3

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $t$ del interior de la tangente.

$t = \arctan (x)$

Paso 4

Reemplaza $t$ en la ecuación con $y$ para obtener la ecuación en términos de $x$ .

$y = \sec^{2} (\arctan (x))$

Paso 5

Elimina los paréntesis.

$y = \sec^{2} (\arctan (x))$

Paso 6

Simplifica $\sec^{2} (\arctan (x))$ .

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Paso 6.1

Dibuja un triángulo en el plano con los vértices $(1, x)$ , $(1, 0)$ y el origen. Entonces $\arctan (x)$ es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por $(1, x)$ . Por lo tanto, $\sec (\arctan (x))$ es $\sqrt{1 + x^{2}}$ .

$y = {\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$

Paso 6.2

Reescribe ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ como $1 + x^{2}$ .

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Paso 6.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{1 + x^{2}}$ como ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 6.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 6.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$y = {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}$

Paso 6.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.4.1

Cancela el factor común.

$y = {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}$

Paso 6.2.4.2

Reescribe la expresión.

$y = {(1 + x^{2})}^{1}$

Paso 6.2.5

Simplifica.

$y = 1 + x^{2}$

Paso 6.3

Reordena $1$ y $x^{2}$ .

$y = x^{2} + 1$