Precálculo Ejemplos

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{21} y = \frac{221}{2}$ , $x - \frac{1}{2} y = - 84$

Paso 1

Representa el sistema de ecuaciones en el formato de la matriz.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{21} \\ 1 & - \frac{1}{2} \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{221}{2} \\ - 84 \end{array}]$

Paso 2

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{21} \\ 1 & - \frac{1}{2} \end{array}]$ .

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Paso 2.1

Write $[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{21} \\ 1 & - \frac{1}{2} \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{21} \\ 1 & - \frac{1}{2} \end{array} |$

Paso 2.2

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2}) - \frac{1}{21}$

Paso 2.3

Simplifica el determinante.

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Paso 2.3.1

Multiplica $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$ .

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Paso 2.3.1.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 2} - \frac{1}{21}$

Paso 2.3.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{1}{4} - \frac{1}{21}$

Paso 2.3.2

Para escribir $- \frac{1}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{21}{21}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{21}{21} - \frac{1}{21}$

Paso 2.3.3

Para escribir $- \frac{1}{21}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{21}{21} - \frac{1}{21} \cdot \frac{4}{4}$

Paso 2.3.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $84$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.3.4.1

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{21}{21}$ .

$- \frac{21}{4 \cdot 21} - \frac{1}{21} \cdot \frac{4}{4}$

Paso 2.3.4.2

Multiplica $4$ por $21$ .

$- \frac{21}{84} - \frac{1}{21} \cdot \frac{4}{4}$

Paso 2.3.4.3

Multiplica $\frac{1}{21}$ por $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{21}{84} - \frac{4}{21 \cdot 4}$

Paso 2.3.4.4

Multiplica $21$ por $4$ .

$- \frac{21}{84} - \frac{4}{84}$

Paso 2.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 21 - 4}{84}$

Paso 2.3.6

Resta $4$ de $- 21$ .

$\frac{- 25}{84}$

Paso 2.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{25}{84}$

$D = - \frac{25}{84}$

Paso 3

Since the determinant is not $0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

Paso 4

Find the value of $x$ by Cramer's Rule, which states that $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

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Paso 4.1

Replace column $1$ of the coefficient matrix that corresponds to the $x$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} \frac{221}{2} \\ - 84 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} \frac{221}{2} & \frac{1}{21} \\ - 84 & - \frac{1}{2} \end{array} |$

Paso 4.2

Find the determinant.

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Paso 4.2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$\frac{221}{2} (- \frac{1}{2}) - (- 84 (\frac{1}{21}))$

Paso 4.2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1.1

Multiplica $\frac{221}{2} (- \frac{1}{2})$ .

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Paso 4.2.2.1.1.1

Multiplica $\frac{221}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{221}{2 \cdot 2} - (- 84 (\frac{1}{21}))$

Paso 4.2.2.1.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{221}{4} - (- 84 (\frac{1}{21}))$

Paso 4.2.2.1.2

Cancela el factor común de $21$ .

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Paso 4.2.2.1.2.1

Factoriza $21$ de $- 84$ .

$- \frac{221}{4} - (21 (- 4) \frac{1}{21})$

Paso 4.2.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{221}{4} - (21 \cdot - 4 \frac{1}{21})$

Paso 4.2.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{221}{4} - - 4$

Paso 4.2.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$- \frac{221}{4} + 4$

Paso 4.2.2.2

Para escribir $4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{221}{4} + 4 \cdot \frac{4}{4}$

Paso 4.2.2.3

Combina $4$ y $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{221}{4} + \frac{4 \cdot 4}{4}$

Paso 4.2.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 221 + 4 \cdot 4}{4}$

Paso 4.2.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.2.5.1

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{- 221 + 16}{4}$

Paso 4.2.2.5.2

Suma $- 221$ y $16$ .

$\frac{- 205}{4}$

Paso 4.2.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{205}{4}$

$D_{x} = - \frac{205}{4}$

Paso 4.3

Use the formula to solve for $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Paso 4.4

Substitute $- \frac{25}{84}$ for $D$ and $- \frac{205}{4}$ for $D_{x}$ in the formula.

$x = \frac{- \frac{205}{4}}{- \frac{25}{84}}$

Paso 4.5

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = \frac{\frac{205}{4}}{\frac{25}{84}}$

Paso 4.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{205}{4} \cdot \frac{84}{25}$

Paso 4.7

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 4.7.1

Factoriza $5$ de $205$ .

$x = \frac{5 (41)}{4} \cdot \frac{84}{25}$

Paso 4.7.2

Factoriza $5$ de $25$ .

$x = \frac{5 \cdot 41}{4} \cdot \frac{84}{5 \cdot 5}$

Paso 4.7.3

Cancela el factor común.

$x = \frac{5 \cdot 41}{4} \cdot \frac{84}{5 \cdot 5}$

Paso 4.7.4

Reescribe la expresión.

$x = \frac{41}{4} \cdot \frac{84}{5}$

Paso 4.8

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.8.1

Factoriza $4$ de $84$ .

$x = \frac{41}{4} \cdot \frac{4 (21)}{5}$

Paso 4.8.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{41}{4} \cdot \frac{4 \cdot 21}{5}$

Paso 4.8.3

Reescribe la expresión.

$x = 41 (\frac{21}{5})$

Paso 4.9

Combina $41$ y $\frac{21}{5}$ .

$x = \frac{41 \cdot 21}{5}$

Paso 4.10

Multiplica $41$ por $21$ .

$x = \frac{861}{5}$

Paso 5

Find the value of $y$ by Cramer's Rule, which states that $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

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Paso 5.1

Replace column $2$ of the coefficient matrix that corresponds to the $y$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} \frac{221}{2} \\ - 84 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{221}{2} \\ 1 & - 84 \end{array} |$

Paso 5.2

Find the determinant.

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Paso 5.2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 84 - \frac{221}{2}$

Paso 5.2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 84$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 (- 42)) - \frac{221}{2}$

Paso 5.2.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 42) - \frac{221}{2}$

Paso 5.2.2.1.3

Reescribe la expresión.

$- 42 - \frac{221}{2}$

Paso 5.2.2.2

Para escribir $- 42$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- 42 \cdot \frac{2}{2} - \frac{221}{2}$

Paso 5.2.2.3

Combina $- 42$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 42 \cdot 2}{2} - \frac{221}{2}$

Paso 5.2.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 42 \cdot 2 - 221}{2}$

Paso 5.2.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.2.5.1

Multiplica $- 42$ por $2$ .

$\frac{- 84 - 221}{2}$

Paso 5.2.2.5.2

Resta $221$ de $- 84$ .

$\frac{- 305}{2}$

Paso 5.2.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{305}{2}$

$D_{y} = - \frac{305}{2}$

Paso 5.3

Use the formula to solve for $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Paso 5.4

Substitute $- \frac{25}{84}$ for $D$ and $- \frac{305}{2}$ for $D_{y}$ in the formula.

$y = \frac{- \frac{305}{2}}{- \frac{25}{84}}$

Paso 5.5

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$y = \frac{\frac{305}{2}}{\frac{25}{84}}$

Paso 5.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = \frac{305}{2} \cdot \frac{84}{25}$

Paso 5.7

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.7.1

Factoriza $5$ de $305$ .

$y = \frac{5 (61)}{2} \cdot \frac{84}{25}$

Paso 5.7.2

Factoriza $5$ de $25$ .

$y = \frac{5 \cdot 61}{2} \cdot \frac{84}{5 \cdot 5}$

Paso 5.7.3

Cancela el factor común.

$y = \frac{5 \cdot 61}{2} \cdot \frac{84}{5 \cdot 5}$

Paso 5.7.4

Reescribe la expresión.

$y = \frac{61}{2} \cdot \frac{84}{5}$

Paso 5.8

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.8.1

Factoriza $2$ de $84$ .

$y = \frac{61}{2} \cdot \frac{2 (42)}{5}$

Paso 5.8.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{61}{2} \cdot \frac{2 \cdot 42}{5}$

Paso 5.8.3

Reescribe la expresión.

$y = 61 (\frac{42}{5})$

Paso 5.9

Combina $61$ y $\frac{42}{5}$ .

$y = \frac{61 \cdot 42}{5}$

Paso 5.10

Multiplica $61$ por $42$ .

$y = \frac{2562}{5}$

Paso 6

Enumera la solución del sistema de ecuaciones.

$x = \frac{861}{5}$

$y = \frac{2562}{5}$