Precálculo Ejemplos

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{3} y = 1$ , $\frac{1}{4} x - \frac{1}{6} y = - \frac{3}{2}$

Paso 1

Representa el sistema de ecuaciones en el formato de la matriz.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{4} & - \frac{1}{6} \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \\ - \frac{3}{2} \end{array}]$

Paso 2

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{4} & - \frac{1}{6} \end{array}]$ .

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Paso 2.1

Write $[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{4} & - \frac{1}{6} \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{4} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

Paso 2.2

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{6}) - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 2.3

Simplifica el determinante.

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Paso 2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.1

Multiplica $\frac{1}{2} (- \frac{1}{6})$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 6} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 2.3.1.1.2

Multiplica $2$ por $6$ .

$- \frac{1}{12} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 2.3.1.2

Multiplica $- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Paso 2.3.1.2.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{12} - \frac{1}{3 \cdot 4}$

Paso 2.3.1.2.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$- \frac{1}{12} - \frac{1}{12}$

Paso 2.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 1 - 1}{12}$

Paso 2.3.3

Resta $1$ de $- 1$ .

$\frac{- 2}{12}$

Paso 2.3.4

Cancela el factor común de $- 2$ y $12$ .

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Paso 2.3.4.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{12}$

Paso 2.3.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.4.2.1

Factoriza $2$ de $12$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 6}$

Paso 2.3.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 6}$

Paso 2.3.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{6}$

Paso 2.3.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{6}$

$D = - \frac{1}{6}$

Paso 3

Since the determinant is not $0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

Paso 4

Find the value of $x$ by Cramer's Rule, which states that $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

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Paso 4.1

Replace column $1$ of the coefficient matrix that corresponds to the $x$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 1 \\ - \frac{3}{2} \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} \\ - \frac{3}{2} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

Paso 4.2

Find the determinant.

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Paso 4.2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 (- \frac{1}{6}) - (- \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Paso 4.2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1.1

Multiplica $- \frac{1}{6}$ por $1$ .

$- \frac{1}{6} - (- \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Paso 4.2.2.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.2.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3}{2}$ al numerador.

$- \frac{1}{6} - (\frac{- 3}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Paso 4.2.2.1.2.2

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$- \frac{1}{6} - (\frac{3 (- 1)}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Paso 4.2.2.1.2.3

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{6} - (\frac{3 \cdot - 1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Paso 4.2.2.1.2.4

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{6} - \frac{- 1}{2}$

Paso 4.2.2.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{6} - - \frac{1}{2}$

Paso 4.2.2.1.4

Multiplica $- - \frac{1}{2}$ .

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Paso 4.2.2.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{6} + 1 (\frac{1}{2})$

Paso 4.2.2.1.4.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$- \frac{1}{6} + \frac{1}{2}$

Paso 4.2.2.2

Para escribir $\frac{1}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 4.2.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.2.2.3.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{6} + \frac{3}{2 \cdot 3}$

Paso 4.2.2.3.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$- \frac{1}{6} + \frac{3}{6}$

Paso 4.2.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 1 + 3}{6}$

Paso 4.2.2.5

Suma $- 1$ y $3$ .

$\frac{2}{6}$

Paso 4.2.2.6

Cancela el factor común de $2$ y $6$ .

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Paso 4.2.2.6.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{6}$

Paso 4.2.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.2.6.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Paso 4.2.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Paso 4.2.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3}$

$D_{x} = \frac{1}{3}$

Paso 4.3

Use the formula to solve for $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Paso 4.4

Substitute $- \frac{1}{6}$ for $D$ and $\frac{1}{3}$ for $D_{x}$ in the formula.

$x = \frac{\frac{1}{3}}{- \frac{1}{6}}$

Paso 4.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{1}{3} (- 1 \cdot 6)$

Paso 4.6

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$x = \frac{1}{3} \cdot - 6$

Paso 4.7

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.7.1

Factoriza $3$ de $- 6$ .

$x = \frac{1}{3} \cdot (3 (- 2))$

Paso 4.7.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot - 2)$

Paso 4.7.3

Reescribe la expresión.

$x = - 2$

Paso 5

Find the value of $y$ by Cramer's Rule, which states that $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

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Paso 5.1

Replace column $2$ of the coefficient matrix that corresponds to the $y$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 1 \\ - \frac{3}{2} \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} \frac{1}{2} & 1 \\ \frac{1}{4} & - \frac{3}{2} \end{array} |$

Paso 5.2

Find the determinant.

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Paso 5.2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{3}{2}) - \frac{1}{4} \cdot 1$

Paso 5.2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 5.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.2.1.1

Multiplica $\frac{1}{2} (- \frac{3}{2})$ .

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Paso 5.2.2.1.1.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{2}$ .

$- \frac{3}{2 \cdot 2} - \frac{1}{4} \cdot 1$

Paso 5.2.2.1.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{3}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1$

Paso 5.2.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{3}{4} - \frac{1}{4}$

Paso 5.2.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 3 - 1}{4}$

Paso 5.2.2.3

Resta $1$ de $- 3$ .

$\frac{- 4}{4}$

Paso 5.2.2.4

Divide $- 4$ por $4$ .

$- 1$

$D_{y} = - 1$

Paso 5.3

Use the formula to solve for $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Paso 5.4

Substitute $- \frac{1}{6}$ for $D$ and $- 1$ for $D_{y}$ in the formula.

$y = \frac{- 1}{- \frac{1}{6}}$

Paso 5.5

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$y = \frac{1}{\frac{1}{6}}$

Paso 5.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = 1 \cdot 6$

Paso 5.7

Multiplica $6$ por $1$ .

$y = 6$

Paso 6

Enumera la solución del sistema de ecuaciones.

$x = - 2$

$y = 6$