Precálculo Ejemplos

$r + \frac{2}{3} s = 4$ , $r - s = 3$

Paso 1

Representa el sistema de ecuaciones en el formato de la matriz.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ 1 & - 1 \end{array}] [\begin{array}{c} r \\ s \end{array}] = [\begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array}]$

Paso 2

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ 1 & - 1 \end{array}]$ .

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Paso 2.1

Write $[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ 1 & - 1 \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Paso 2.2

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot - 1 - \frac{2}{3}$

Paso 2.3

Simplifica el determinante.

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Paso 2.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1 - \frac{2}{3}$

Paso 2.3.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- 1 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}$

Paso 2.3.3

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 1 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3}$

Paso 2.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 1 \cdot 3 - 2}{3}$

Paso 2.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.5.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{- 3 - 2}{3}$

Paso 2.3.5.2

Resta $2$ de $- 3$ .

$\frac{- 5}{3}$

Paso 2.3.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{5}{3}$

$D = - \frac{5}{3}$

Paso 3

Since the determinant is not $0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

Paso 4

Find the value of $r$ by Cramer's Rule, which states that $r = \frac{D_{r}}{D}$ .

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Paso 4.1

Replace column $1$ of the coefficient matrix that corresponds to the $r$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 4 & \frac{2}{3} \\ 3 & - 1 \end{array} |$

Paso 4.2

Find the determinant.

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Paso 4.2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$4 \cdot - 1 - 3 (\frac{2}{3})$

Paso 4.2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1.1

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$- 4 - 3 (\frac{2}{3})$

Paso 4.2.2.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.2.1.2.1

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$- 4 + 3 (- 1) \frac{2}{3}$

Paso 4.2.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$- 4 + 3 \cdot - 1 \frac{2}{3}$

Paso 4.2.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$- 4 - 1 \cdot 2$

Paso 4.2.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 4 - 2$

Paso 4.2.2.2

Resta $2$ de $- 4$ .

$- 6$

$D_{r} = - 6$

Paso 4.3

Use the formula to solve for $r$ .

$r = \frac{D_{r}}{D}$

Paso 4.4

Substitute $- \frac{5}{3}$ for $D$ and $- 6$ for $D_{r}$ in the formula.

$r = \frac{- 6}{- \frac{5}{3}}$

Paso 4.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$r = - 6 (- \frac{3}{5})$

Paso 4.6

Multiplica $- 6 (- \frac{3}{5})$ .

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Paso 4.6.1

Multiplica $- 1$ por $- 6$ .

$r = 6 (\frac{3}{5})$

Paso 4.6.2

Combina $6$ y $\frac{3}{5}$ .

$r = \frac{6 \cdot 3}{5}$

Paso 4.6.3

Multiplica $6$ por $3$ .

$r = \frac{18}{5}$

Paso 5

Find the value of $s$ by Cramer's Rule, which states that $s = \frac{D_{s}}{D}$ .

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Paso 5.1

Replace column $2$ of the coefficient matrix that corresponds to the $s$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 1 & 4 \\ 1 & 3 \end{array} |$

Paso 5.2

Find the determinant.

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Paso 5.2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 3 - 1 \cdot 4$

Paso 5.2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 5.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.2.1.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 - 1 \cdot 4$

Paso 5.2.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$3 - 4$

Paso 5.2.2.2

Resta $4$ de $3$ .

$- 1$

$D_{s} = - 1$

Paso 5.3

Use the formula to solve for $s$ .

$s = \frac{D_{s}}{D}$

Paso 5.4

Substitute $- \frac{5}{3}$ for $D$ and $- 1$ for $D_{s}$ in the formula.

$s = \frac{- 1}{- \frac{5}{3}}$

Paso 5.5

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$s = \frac{1}{\frac{5}{3}}$

Paso 5.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$s = 1 (\frac{3}{5})$

Paso 5.7

Multiplica $\frac{3}{5}$ por $1$ .

$s = \frac{3}{5}$

Paso 6

Enumera la solución del sistema de ecuaciones.

$r = \frac{18}{5}$

$s = \frac{3}{5}$