Precálculo Ejemplos

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{2})$

Paso 1

Convierte de coordenadas rectangulares $(x, y)$ a coordenadas polares $(r, θ)$ con las fórmulas de conversión.

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 2

Reemplaza $x$ y $y$ con los valores reales.

$r = \sqrt{{(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3

Obtén la magnitud de la coordenada polar.

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Paso 3.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 3.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$r = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$r = \sqrt{{(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}) + {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{{(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}) + {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.2

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{1 (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}) + {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.2.2

Multiplica $\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$r = \sqrt{\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.3

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$r = \sqrt{\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \sqrt{\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$r = \sqrt{\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.4.1

Cancela el factor común.

$r = \sqrt{\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.3.4.2

Reescribe la expresión.

$r = \sqrt{\frac{2}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{2}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.3.5

Evalúa el exponente.

$r = \sqrt{\frac{2}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{2}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{\frac{2}{4} + {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.5

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 3.5.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$r = \sqrt{\frac{2 (1)}{4} + {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.5.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$r = \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.5.2.2

Cancela el factor común.

$r = \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.5.2.3

Reescribe la expresión.

$r = \sqrt{\frac{1}{2} + {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{1}{2} + {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{1}{2} + {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.6

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{6}}{2}$ .

$r = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.7

Reescribe ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

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Paso 3.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$r = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$r = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{6^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.7.4.1

Cancela el factor común.

$r = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{6^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.7.4.2

Reescribe la expresión.

$r = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{6}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{6}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.7.5

Evalúa el exponente.

$r = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{6}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{6}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.8

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{6}{4}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.9

Cancela el factor común de $6$ y $4$ .

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Paso 3.9.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$r = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2 (3)}{4}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.9.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$r = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.9.2.2

Cancela el factor común.

$r = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.9.2.3

Reescribe la expresión.

$r = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.10

Simplifica la expresión.

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Paso 3.10.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$r = \sqrt{\frac{1 + 3}{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.10.2

Suma $1$ y $3$ .

$r = \sqrt{\frac{4}{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.10.3

Divide $4$ por $2$ .

$r = \sqrt{2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 4

Reemplaza $x$ y $y$ con los valores reales.

$r = \sqrt{2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{\frac{\sqrt{6}}{2}}{- \frac{\sqrt{2}}{2}})$

Paso 5

La inversa de la tangente de $- \sqrt{3}$ es $θ = 120 °$ .

$r = \sqrt{2}$

$θ = 120 °$

Paso 6

Este es el resultado de la conversión a coordenadas polares en la forma $(r, θ)$ .

$(\sqrt{2}, 120 °)$