Precálculo Ejemplos

$(- \sqrt{3}, \frac{2 π}{3})$

Paso 1

Convierte de coordenadas rectangulares $(x, y)$ a coordenadas polares $(r, θ)$ con las fórmulas de conversión.

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 2

Reemplaza $x$ y $y$ con los valores reales.

$r = \sqrt{{(- \sqrt{3})}^{2} + {(\frac{2 π}{3})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3

Obtén la magnitud de la coordenada polar.

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Paso 3.1

Simplifica la expresión.

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Paso 3.1.1

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{3}$ .

$r = \sqrt{{(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} + {(\frac{2 π}{3})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{1 {\sqrt{3}}^{2} + {(\frac{2 π}{3})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.1.3

Multiplica ${\sqrt{3}}^{2}$ por $1$ .

$r = \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} + {(\frac{2 π}{3})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} + {(\frac{2 π}{3})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.2

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$r = \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(\frac{2 π}{3})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(\frac{2 π}{3})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$r = \sqrt{3^{\frac{2}{2}} + {(\frac{2 π}{3})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.4.1

Cancela el factor común.

$r = \sqrt{3^{\frac{2}{2}} + {(\frac{2 π}{3})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.2.4.2

Reescribe la expresión.

$r = \sqrt{3 + {(\frac{2 π}{3})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{3 + {(\frac{2 π}{3})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.2.5

Evalúa el exponente.

$r = \sqrt{3 + {(\frac{2 π}{3})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{3 + {(\frac{2 π}{3})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.3

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 3.3.1

Aplica la regla del producto a $\frac{2 π}{3}$ .

$r = \sqrt{3 + \frac{{(2 π)}^{2}}{3^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.3.2

Aplica la regla del producto a $2 π$ .

$r = \sqrt{3 + \frac{2^{2} π^{2}}{3^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{3 + \frac{2^{2} π^{2}}{3^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{3 + \frac{4 π^{2}}{3^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.5

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{3 + \frac{4 π^{2}}{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.6

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{9}{9}$ .

$r = \sqrt{3 \cdot \frac{9}{9} + \frac{4 π^{2}}{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.7

Combina $3$ y $\frac{9}{9}$ .

$r = \sqrt{\frac{3 \cdot 9}{9} + \frac{4 π^{2}}{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.8

Simplifica la expresión.

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Paso 3.8.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$r = \sqrt{\frac{3 \cdot 9 + 4 π^{2}}{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.8.2

Multiplica $3$ por $9$ .

$r = \sqrt{\frac{27 + 4 π^{2}}{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{27 + 4 π^{2}}{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.9

Reescribe $\sqrt{\frac{27 + 4 π^{2}}{9}}$ como $\frac{\sqrt{27 + 4 π^{2}}}{\sqrt{9}}$ .

$r = \frac{\sqrt{27 + 4 π^{2}}}{\sqrt{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.10

Simplifica el denominador.

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Paso 3.10.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$r = \frac{\sqrt{27 + 4 π^{2}}}{\sqrt{3^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.10.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$r = \frac{\sqrt{27 + 4 π^{2}}}{3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \frac{\sqrt{27 + 4 π^{2}}}{3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \frac{\sqrt{27 + 4 π^{2}}}{3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 4

Reemplaza $x$ y $y$ con los valores reales.

$r = \frac{\sqrt{27 + 4 π^{2}}}{3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{\frac{2 π}{3}}{- \sqrt{3}})$

Paso 5

La inversa de la tangente de $- \frac{2 π \sqrt{3}}{9}$ es $θ = 129.59052175 °$ .

$r = \frac{\sqrt{27 + 4 π^{2}}}{3}$

$θ = 129.59052175 °$

Paso 6

Este es el resultado de la conversión a coordenadas polares en la forma $(r, θ)$ .

$(\frac{\sqrt{27 + 4 π^{2}}}{3}, 129.59052175 °)$