Precálculo Ejemplos

$(\frac{7}{4}, - \frac{5}{8})$

Paso 1

Convierte de coordenadas rectangulares $(x, y)$ a coordenadas polares $(r, θ)$ con las fórmulas de conversión.

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 2

Reemplaza $x$ y $y$ con los valores reales.

$r = \sqrt{{(\frac{7}{4})}^{2} + {(- \frac{5}{8})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3

Obtén la magnitud de la coordenada polar.

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Paso 3.1

Aplica la regla del producto a $\frac{7}{4}$ .

$r = \sqrt{\frac{7^{2}}{4^{2}} + {(- \frac{5}{8})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.2

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{\frac{49}{4^{2}} + {(- \frac{5}{8})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.3

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{\frac{49}{16} + {(- \frac{5}{8})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.4

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 3.4.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{5}{8}$ .

$r = \sqrt{\frac{49}{16} + {(- 1)}^{2} {(\frac{5}{8})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.4.2

Aplica la regla del producto a $\frac{5}{8}$ .

$r = \sqrt{\frac{49}{16} + {(- 1)}^{2} (\frac{5^{2}}{8^{2}})}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{49}{16} + {(- 1)}^{2} (\frac{5^{2}}{8^{2}})}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.5

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{\frac{49}{16} + 1 (\frac{5^{2}}{8^{2}})}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.6

Multiplica $\frac{5^{2}}{8^{2}}$ por $1$ .

$r = \sqrt{\frac{49}{16} + \frac{5^{2}}{8^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.7

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{\frac{49}{16} + \frac{25}{8^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.8

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{\frac{49}{16} + \frac{25}{64}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.9

Para escribir $\frac{49}{16}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$r = \sqrt{\frac{49}{16} \cdot \frac{4}{4} + \frac{25}{64}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.10

Escribe cada expresión con un denominador común de $64$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.10.1

Multiplica $\frac{49}{16}$ por $\frac{4}{4}$ .

$r = \sqrt{\frac{49 \cdot 4}{16 \cdot 4} + \frac{25}{64}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.10.2

Multiplica $16$ por $4$ .

$r = \sqrt{\frac{49 \cdot 4}{64} + \frac{25}{64}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{49 \cdot 4}{64} + \frac{25}{64}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$r = \sqrt{\frac{49 \cdot 4 + 25}{64}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.12

Simplifica el numerador.

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Paso 3.12.1

Multiplica $49$ por $4$ .

$r = \sqrt{\frac{196 + 25}{64}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.12.2

Suma $196$ y $25$ .

$r = \sqrt{\frac{221}{64}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{221}{64}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.13

Reescribe $\sqrt{\frac{221}{64}}$ como $\frac{\sqrt{221}}{\sqrt{64}}$ .

$r = \frac{\sqrt{221}}{\sqrt{64}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.14

Simplifica el denominador.

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Paso 3.14.1

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$r = \frac{\sqrt{221}}{\sqrt{8^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.14.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$r = \frac{\sqrt{221}}{8}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \frac{\sqrt{221}}{8}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \frac{\sqrt{221}}{8}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 4

Reemplaza $x$ y $y$ con los valores reales.

$r = \frac{\sqrt{221}}{8}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{- \frac{5}{8}}{\frac{7}{4}})$

Paso 5

La inversa de la tangente de $- \frac{5}{14}$ es $θ = 340.34617594 °$ .

$r = \frac{\sqrt{221}}{8}$

$θ = 340.34617594 °$

Paso 6

Este es el resultado de la conversión a coordenadas polares en la forma $(r, θ)$ .

$(\frac{\sqrt{221}}{8}, 340.34617594 °)$