Precálculo Ejemplos

$(\frac{5 \sqrt{2}}{2}, \frac{- \sqrt{2}}{2})$

Paso 1

Convierte de coordenadas rectangulares $(x, y)$ a coordenadas polares $(r, θ)$ con las fórmulas de conversión.

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 2

Reemplaza $x$ y $y$ con los valores reales.

$r = \sqrt{{(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{- \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3

Obtén la magnitud de la coordenada polar.

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Paso 3.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 3.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ .

$r = \sqrt{\frac{{(5 \sqrt{2})}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{- \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.1.2

Aplica la regla del producto a $5 \sqrt{2}$ .

$r = \sqrt{\frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{- \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{- \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{\frac{25 {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{- \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.2.2

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 3.2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$r = \sqrt{\frac{25 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{- \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.2.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \sqrt{\frac{25 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + {(\frac{- \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.2.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$r = \sqrt{\frac{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + {(\frac{- \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.2.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.4.1

Cancela el factor común.

$r = \sqrt{\frac{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + {(\frac{- \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.2.2.4.2

Reescribe la expresión.

$r = \sqrt{\frac{25 \cdot 2}{2^{2}} + {(\frac{- \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{25 \cdot 2}{2^{2}} + {(\frac{- \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.2.2.5

Evalúa el exponente.

$r = \sqrt{\frac{25 \cdot 2}{2^{2}} + {(\frac{- \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{25 \cdot 2}{2^{2}} + {(\frac{- \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{25 \cdot 2}{2^{2}} + {(\frac{- \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 3.3.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{\frac{25 \cdot 2}{4} + {(\frac{- \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.3.2

Multiplica $25$ por $2$ .

$r = \sqrt{\frac{50}{4} + {(\frac{- \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.3.3

Cancela el factor común de $50$ y $4$ .

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Paso 3.3.3.1

Factoriza $2$ de $50$ .

$r = \sqrt{\frac{2 (25)}{4} + {(\frac{- \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.3.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$r = \sqrt{\frac{2 \cdot 25}{2 \cdot 2} + {(\frac{- \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$r = \sqrt{\frac{2 \cdot 25}{2 \cdot 2} + {(\frac{- \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$r = \sqrt{\frac{25}{2} + {(\frac{- \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{25}{2} + {(\frac{- \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{25}{2} + {(\frac{- \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.3.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$r = \sqrt{\frac{25}{2} + {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{25}{2} + {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.4

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 3.4.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$r = \sqrt{\frac{25}{2} + {(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.4.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$r = \sqrt{\frac{25}{2} + {(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{25}{2} + {(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 3.5.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{\frac{25}{2} + 1 (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.5.2

Multiplica $\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$r = \sqrt{\frac{25}{2} + \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{25}{2} + \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$r = \sqrt{\frac{25}{2} + \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \sqrt{\frac{25}{2} + \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$r = \sqrt{\frac{25}{2} + \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.6.4.1

Cancela el factor común.

$r = \sqrt{\frac{25}{2} + \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$r = \sqrt{\frac{25}{2} + \frac{2}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{25}{2} + \frac{2}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.6.5

Evalúa el exponente.

$r = \sqrt{\frac{25}{2} + \frac{2}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{25}{2} + \frac{2}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.7

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{\frac{25}{2} + \frac{2}{4}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.8

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 3.8.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$r = \sqrt{\frac{25}{2} + \frac{2 (1)}{4}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.8.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$r = \sqrt{\frac{25}{2} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.8.2.2

Cancela el factor común.

$r = \sqrt{\frac{25}{2} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.8.2.3

Reescribe la expresión.

$r = \sqrt{\frac{25}{2} + \frac{1}{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{25}{2} + \frac{1}{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{25}{2} + \frac{1}{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.9

Simplifica la expresión.

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Paso 3.9.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$r = \sqrt{\frac{25 + 1}{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.9.2

Suma $25$ y $1$ .

$r = \sqrt{\frac{26}{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.9.3

Divide $26$ por $2$ .

$r = \sqrt{13}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{13}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{13}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 4

Reemplaza $x$ y $y$ con los valores reales.

$r = \sqrt{13}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{\frac{- \sqrt{2}}{2}}{\frac{5 \sqrt{2}}{2}})$

Paso 5

La inversa de la tangente de $- \frac{1}{5}$ es $θ = 348.69006752 °$ .

$r = \sqrt{13}$

$θ = 348.69006752 °$

Paso 6

Este es el resultado de la conversión a coordenadas polares en la forma $(r, θ)$ .

$(\sqrt{13}, 348.69006752 °)$