Precálculo Ejemplos

$(- \frac{3 \sqrt{2}}{2}, - \frac{3 \sqrt{2}}{3})$

Paso 1

Convierte de coordenadas rectangulares $(x, y)$ a coordenadas polares $(r, θ)$ con las fórmulas de conversión.

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 2

Reemplaza $x$ y $y$ con los valores reales.

$r = \sqrt{{(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(- \frac{3 \sqrt{2}}{3})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3

Obtén la magnitud de la coordenada polar.

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Paso 3.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 3.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

$r = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(- \frac{3 \sqrt{2}}{3})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

$r = \sqrt{{(- 1)}^{2} (\frac{{(3 \sqrt{2})}^{2}}{2^{2}}) + {(- \frac{3 \sqrt{2}}{3})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.1.3

Aplica la regla del producto a $3 \sqrt{2}$ .

$r = \sqrt{{(- 1)}^{2} (\frac{3^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}) + {(- \frac{3 \sqrt{2}}{3})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{{(- 1)}^{2} (\frac{3^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}) + {(- \frac{3 \sqrt{2}}{3})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.2

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{1 (\frac{3^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}) + {(- \frac{3 \sqrt{2}}{3})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.2.2

Multiplica $\frac{3^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$r = \sqrt{\frac{3^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{3 \sqrt{2}}{3})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{3^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{3 \sqrt{2}}{3})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{\frac{9 {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{3 \sqrt{2}}{3})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.3.2

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$r = \sqrt{\frac{9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{3 \sqrt{2}}{3})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.3.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \sqrt{\frac{9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + {(- \frac{3 \sqrt{2}}{3})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.3.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$r = \sqrt{\frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + {(- \frac{3 \sqrt{2}}{3})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.3.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.4.1

Cancela el factor común.

$r = \sqrt{\frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + {(- \frac{3 \sqrt{2}}{3})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.3.2.4.2

Reescribe la expresión.

$r = \sqrt{\frac{9 \cdot 2}{2^{2}} + {(- \frac{3 \sqrt{2}}{3})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{9 \cdot 2}{2^{2}} + {(- \frac{3 \sqrt{2}}{3})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.3.2.5

Evalúa el exponente.

$r = \sqrt{\frac{9 \cdot 2}{2^{2}} + {(- \frac{3 \sqrt{2}}{3})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{9 \cdot 2}{2^{2}} + {(- \frac{3 \sqrt{2}}{3})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{9 \cdot 2}{2^{2}} + {(- \frac{3 \sqrt{2}}{3})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.4

Simplifica los términos.

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Paso 3.4.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{\frac{9 \cdot 2}{4} + {(- \frac{3 \sqrt{2}}{3})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.4.2

Multiplica $9$ por $2$ .

$r = \sqrt{\frac{18}{4} + {(- \frac{3 \sqrt{2}}{3})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.4.3

Cancela el factor común de $18$ y $4$ .

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Paso 3.4.3.1

Factoriza $2$ de $18$ .

$r = \sqrt{\frac{2 (9)}{4} + {(- \frac{3 \sqrt{2}}{3})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.4.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.4.3.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$r = \sqrt{\frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2} + {(- \frac{3 \sqrt{2}}{3})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.4.3.2.2

Cancela el factor común.

$r = \sqrt{\frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2} + {(- \frac{3 \sqrt{2}}{3})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.4.3.2.3

Reescribe la expresión.

$r = \sqrt{\frac{9}{2} + {(- \frac{3 \sqrt{2}}{3})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{9}{2} + {(- \frac{3 \sqrt{2}}{3})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{9}{2} + {(- \frac{3 \sqrt{2}}{3})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.4.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.4.4.1

Cancela el factor común.

$r = \sqrt{\frac{9}{2} + {(- \frac{3 \sqrt{2}}{3})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.4.4.2

Divide $\sqrt{2}$ por $1$ .

$r = \sqrt{\frac{9}{2} + {(- \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{9}{2} + {(- \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.4.5

Simplifica la expresión.

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Paso 3.4.5.1

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{2}$ .

$r = \sqrt{\frac{9}{2} + {(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.4.5.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{\frac{9}{2} + 1 {\sqrt{2}}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.4.5.3

Multiplica ${\sqrt{2}}^{2}$ por $1$ .

$r = \sqrt{\frac{9}{2} + {\sqrt{2}}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{9}{2} + {\sqrt{2}}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.4.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 3.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$r = \sqrt{\frac{9}{2} + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \sqrt{\frac{9}{2} + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$r = \sqrt{\frac{9}{2} + 2^{\frac{2}{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$r = \sqrt{\frac{9}{2} + 2^{\frac{2}{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$r = \sqrt{\frac{9}{2} + 2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{9}{2} + 2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.4.6.5

Evalúa el exponente.

$r = \sqrt{\frac{9}{2} + 2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{9}{2} + 2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{9}{2} + 2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.5

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$r = \sqrt{\frac{9}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.6

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$r = \sqrt{\frac{9}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$r = \sqrt{\frac{9 + 2 \cdot 2}{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.8

Simplifica el numerador.

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Paso 3.8.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$r = \sqrt{\frac{9 + 4}{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.8.2

Suma $9$ y $4$ .

$r = \sqrt{\frac{13}{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{13}{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.9

Reescribe $\sqrt{\frac{13}{2}}$ como $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{2}}$ .

$r = \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.10

Multiplica $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$r = \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.11

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.11.1

Multiplica $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$r = \frac{\sqrt{13} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.11.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$r = \frac{\sqrt{13} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.11.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$r = \frac{\sqrt{13} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.11.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$r = \frac{\sqrt{13} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.11.5

Suma $1$ y $1$ .

$r = \frac{\sqrt{13} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.11.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 3.11.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$r = \frac{\sqrt{13} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.11.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \frac{\sqrt{13} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.11.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$r = \frac{\sqrt{13} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.11.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.11.6.4.1

Cancela el factor común.

$r = \frac{\sqrt{13} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.11.6.4.2

Reescribe la expresión.

$r = \frac{\sqrt{13} \sqrt{2}}{2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \frac{\sqrt{13} \sqrt{2}}{2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.11.6.5

Evalúa el exponente.

$r = \frac{\sqrt{13} \sqrt{2}}{2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \frac{\sqrt{13} \sqrt{2}}{2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \frac{\sqrt{13} \sqrt{2}}{2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.12

Simplifica el numerador.

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Paso 3.12.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$r = \frac{\sqrt{13 \cdot 2}}{2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.12.2

Multiplica $13$ por $2$ .

$r = \frac{\sqrt{26}}{2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \frac{\sqrt{26}}{2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \frac{\sqrt{26}}{2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 4

Reemplaza $x$ y $y$ con los valores reales.

$r = \frac{\sqrt{26}}{2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{- \frac{3 \sqrt{2}}{3}}{- \frac{3 \sqrt{2}}{2}})$

Paso 5

La inversa de la tangente de $\frac{2}{3}$ es $θ = 213.69006752 °$ .

$r = \frac{\sqrt{26}}{2}$

$θ = 213.69006752 °$

Paso 6

Este es el resultado de la conversión a coordenadas polares en la forma $(r, θ)$ .

$(\frac{\sqrt{26}}{2}, 213.69006752 °)$