Precálculo Ejemplos

$(- \frac{21}{8}, \frac{13}{24})$

Paso 1

Convierte de coordenadas rectangulares $(x, y)$ a coordenadas polares $(r, θ)$ con las fórmulas de conversión.

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 2

Reemplaza $x$ y $y$ con los valores reales.

$r = \sqrt{{(- \frac{21}{8})}^{2} + {(\frac{13}{24})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3

Obtén la magnitud de la coordenada polar.

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Paso 3.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 3.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{21}{8}$ .

$r = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{21}{8})}^{2} + {(\frac{13}{24})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{21}{8}$ .

$r = \sqrt{{(- 1)}^{2} (\frac{21^{2}}{8^{2}}) + {(\frac{13}{24})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{{(- 1)}^{2} (\frac{21^{2}}{8^{2}}) + {(\frac{13}{24})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{1 (\frac{21^{2}}{8^{2}}) + {(\frac{13}{24})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.3

Multiplica $\frac{21^{2}}{8^{2}}$ por $1$ .

$r = \sqrt{\frac{21^{2}}{8^{2}} + {(\frac{13}{24})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.4

Eleva $21$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{\frac{441}{8^{2}} + {(\frac{13}{24})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.5

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{\frac{441}{64} + {(\frac{13}{24})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.6

Aplica la regla del producto a $\frac{13}{24}$ .

$r = \sqrt{\frac{441}{64} + \frac{13^{2}}{24^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.7

Eleva $13$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{\frac{441}{64} + \frac{169}{24^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.8

Eleva $24$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{\frac{441}{64} + \frac{169}{576}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.9

Para escribir $\frac{441}{64}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{9}{9}$ .

$r = \sqrt{\frac{441}{64} \cdot \frac{9}{9} + \frac{169}{576}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.10

Escribe cada expresión con un denominador común de $576$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.10.1

Multiplica $\frac{441}{64}$ por $\frac{9}{9}$ .

$r = \sqrt{\frac{441 \cdot 9}{64 \cdot 9} + \frac{169}{576}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.10.2

Multiplica $64$ por $9$ .

$r = \sqrt{\frac{441 \cdot 9}{576} + \frac{169}{576}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{441 \cdot 9}{576} + \frac{169}{576}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$r = \sqrt{\frac{441 \cdot 9 + 169}{576}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.12

Simplifica el numerador.

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Paso 3.12.1

Multiplica $441$ por $9$ .

$r = \sqrt{\frac{3969 + 169}{576}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.12.2

Suma $3969$ y $169$ .

$r = \sqrt{\frac{4138}{576}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{4138}{576}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.13

Cancela el factor común de $4138$ y $576$ .

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Paso 3.13.1

Factoriza $2$ de $4138$ .

$r = \sqrt{\frac{2 (2069)}{576}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.13.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.13.2.1

Factoriza $2$ de $576$ .

$r = \sqrt{\frac{2 \cdot 2069}{2 \cdot 288}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.13.2.2

Cancela el factor común.

$r = \sqrt{\frac{2 \cdot 2069}{2 \cdot 288}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.13.2.3

Reescribe la expresión.

$r = \sqrt{\frac{2069}{288}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{2069}{288}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{2069}{288}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.14

Reescribe $\sqrt{\frac{2069}{288}}$ como $\frac{\sqrt{2069}}{\sqrt{288}}$ .

$r = \frac{\sqrt{2069}}{\sqrt{288}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.15

Simplifica el denominador.

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Paso 3.15.1

Reescribe $288$ como $12^{2} \cdot 2$ .

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Paso 3.15.1.1

Factoriza $144$ de $288$ .

$r = \frac{\sqrt{2069}}{\sqrt{144 (2)}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.15.1.2

Reescribe $144$ como $12^{2}$ .

$r = \frac{\sqrt{2069}}{\sqrt{12^{2} \cdot 2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \frac{\sqrt{2069}}{\sqrt{12^{2} \cdot 2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.15.2

Retira los términos de abajo del radical.

$r = \frac{\sqrt{2069}}{12 \sqrt{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \frac{\sqrt{2069}}{12 \sqrt{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.16

Multiplica $\frac{\sqrt{2069}}{12 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$r = \frac{\sqrt{2069}}{12 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.17

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.17.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2069}}{12 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$r = \frac{\sqrt{2069} \sqrt{2}}{12 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.17.2

Mueve $\sqrt{2}$ .

$r = \frac{\sqrt{2069} \sqrt{2}}{12 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.17.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$r = \frac{\sqrt{2069} \sqrt{2}}{12 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.17.4

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$r = \frac{\sqrt{2069} \sqrt{2}}{12 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.17.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$r = \frac{\sqrt{2069} \sqrt{2}}{12 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.17.6

Suma $1$ y $1$ .

$r = \frac{\sqrt{2069} \sqrt{2}}{12 {\sqrt{2}}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.17.7

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 3.17.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$r = \frac{\sqrt{2069} \sqrt{2}}{12 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.17.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \frac{\sqrt{2069} \sqrt{2}}{12 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.17.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$r = \frac{\sqrt{2069} \sqrt{2}}{12 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.17.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.17.7.4.1

Cancela el factor común.

$r = \frac{\sqrt{2069} \sqrt{2}}{12 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.17.7.4.2

Reescribe la expresión.

$r = \frac{\sqrt{2069} \sqrt{2}}{12 \cdot 2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \frac{\sqrt{2069} \sqrt{2}}{12 \cdot 2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.17.7.5

Evalúa el exponente.

$r = \frac{\sqrt{2069} \sqrt{2}}{12 \cdot 2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \frac{\sqrt{2069} \sqrt{2}}{12 \cdot 2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \frac{\sqrt{2069} \sqrt{2}}{12 \cdot 2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.18

Simplifica el numerador.

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Paso 3.18.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$r = \frac{\sqrt{2069 \cdot 2}}{12 \cdot 2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.18.2

Multiplica $2069$ por $2$ .

$r = \frac{\sqrt{4138}}{12 \cdot 2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \frac{\sqrt{4138}}{12 \cdot 2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.19

Multiplica $12$ por $2$ .

$r = \frac{\sqrt{4138}}{24}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \frac{\sqrt{4138}}{24}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 4

Reemplaza $x$ y $y$ con los valores reales.

$r = \frac{\sqrt{4138}}{24}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{\frac{13}{24}}{- \frac{21}{8}})$

Paso 5

La inversa de la tangente de $- \frac{13}{63}$ es $θ = 168.34070734 °$ .

$r = \frac{\sqrt{4138}}{24}$

$θ = 168.34070734 °$

Paso 6

Este es el resultado de la conversión a coordenadas polares en la forma $(r, θ)$ .

$(\frac{\sqrt{4138}}{24}, 168.34070734 °)$