Precálculo Ejemplos

${(x - 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = x$

Paso 1

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

${(x - 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} - x = 0$

Paso 2

Completa el cuadrado de ${(x - 1)}^{2} - x$ .

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Paso 2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.1

Reescribe ${(x - 1)}^{2}$ como $(x - 1) (x - 1)$ .

$(x - 1) (x - 1) - x$

Paso 2.1.1.2

Expande $(x - 1) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x (x - 1) - 1 (x - 1) - x$

Paso 2.1.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1) - x$

Paso 2.1.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 - x$

Paso 2.1.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 - x$

Paso 2.1.1.3.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1 - x$

Paso 2.1.1.3.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1 - x$

Paso 2.1.1.3.1.4

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1 - x$

Paso 2.1.1.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x^{2} - x - x + 1 - x$

Paso 2.1.1.3.2

Resta $x$ de $- x$ .

$x^{2} - 2 x + 1 - x$

Paso 2.1.2

Resta $x$ de $- 2 x$ .

$x^{2} - 3 x + 1$

Paso 2.2

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = - 3$

$c = 1$

Paso 2.3

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 2.4

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.4.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 3}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.2.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$d = \frac{- 3}{2}$

Paso 2.4.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$d = - \frac{3}{2}$

Paso 2.5

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 2.5.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 1 - \frac{{(- 3)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 2.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.2.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$e = 1 - \frac{9}{4 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = 1 - \frac{9}{4}$

Paso 2.5.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$e = \frac{4}{4} - \frac{9}{4}$

Paso 2.5.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{4 - 9}{4}$

Paso 2.5.2.4

Resta $9$ de $4$ .

$e = \frac{- 5}{4}$

Paso 2.5.2.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = - \frac{5}{4}$

Paso 2.6

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{5}{4}$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{5}{4}$

Paso 3

Sustituye ${(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{5}{4}$ por ${(x - 1)}^{2} - x$ en la ecuación ${(x - 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} - x = 0$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{5}{4} + {(y - 3)}^{2} = 0$

Paso 4

Mueve $- \frac{5}{4}$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $\frac{5}{4}$ a ambos lados.

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 0 + \frac{5}{4}$

Paso 5

Suma $0$ y $\frac{5}{4}$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y - 3)}^{2} = \frac{5}{4}$

Paso 6

Esta es la forma de un círculo. Usa esta forma para determinar el centro y el radio del círculo.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Paso 7

Haz coincidir los valores de este círculo con los de la ecuación ordinaria. La variable $r$ representa el radio del círculo, $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen y $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen.

$r = \frac{\sqrt{5}}{2}$

$h = \frac{3}{2}$

$k = 3$

Paso 8

El centro del círculo se ubica en $(h, k)$ .

Centro: $(\frac{3}{2}, 3)$

Paso 9

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de un círculo.

Centro: $(\frac{3}{2}, 3)$

Radio: $\frac{\sqrt{5}}{2}$

Paso 10