Precálculo Ejemplos

$16 x^{2} - 25 y^{2} - 160 x - 250 y \cdot 75 = 0$

Paso 1

Obtén la ecuación ordinaria de la hipérbola.

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Paso 1.1

Completa el cuadrado de $16 x^{2} - 160 x$ .

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Paso 1.1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 16$

$b = - 160$

$c = 0$

Paso 1.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 160}{2 \cdot 16}$

Paso 1.1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.3.2.1

Cancela el factor común de $- 160$ y $2$ .

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Paso 1.1.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 160$ .

$d = \frac{2 \cdot - 80}{2 \cdot 16}$

Paso 1.1.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 16$ .

$d = \frac{2 \cdot - 80}{2 (16)}$

Paso 1.1.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 80}{2 \cdot 16}$

Paso 1.1.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 80}{16}$

Paso 1.1.3.2.2

Cancela el factor común de $- 80$ y $16$ .

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Paso 1.1.3.2.2.1

Factoriza $16$ de $- 80$ .

$d = \frac{16 \cdot - 5}{16}$

Paso 1.1.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.3.2.2.2.1

Factoriza $16$ de $16$ .

$d = \frac{16 \cdot - 5}{16 (1)}$

Paso 1.1.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{16 \cdot - 5}{16 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 5}{1}$

Paso 1.1.3.2.2.2.4

Divide $- 5$ por $1$ .

$d = - 5$

Paso 1.1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 160)}^{2}}{4 \cdot 16}$

Paso 1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.4.2.1.1

Eleva $- 160$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{25600}{4 \cdot 16}$

Paso 1.1.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $16$ .

$e = 0 - \frac{25600}{64}$

Paso 1.1.4.2.1.3

Divide $25600$ por $64$ .

$e = 0 - 1 \cdot 400$

Paso 1.1.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $400$ .

$e = 0 - 400$

Paso 1.1.4.2.2

Resta $400$ de $0$ .

$e = - 400$

Paso 1.1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $16 {(x - 5)}^{2} - 400$ .

$16 {(x - 5)}^{2} - 400$

Paso 1.2

Sustituye $16 {(x - 5)}^{2} - 400$ por $16 x^{2} - 160 x$ en la ecuación $16 x^{2} - 25 y^{2} - 160 x - 250 y \cdot 75 = 0$ .

$16 {(x - 5)}^{2} - 400 - 25 y^{2} - 250 y \cdot 75 = 0$

Paso 1.3

Mueve $- 400$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $400$ a ambos lados.

$16 {(x - 5)}^{2} - 25 y^{2} - 250 y \cdot 75 = 0 + 400$

Paso 1.4

Completa el cuadrado de $- 25 y^{2} - 250 y \cdot 75$ .

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Paso 1.4.1

Multiplica $75$ por $- 250$ .

$- 25 y^{2} - 18750 y$

Paso 1.4.2

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 25$

$b = - 18750$

$c = 0$

Paso 1.4.3

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.4.4

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.4.4.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 18750}{2 \cdot - 25}$

Paso 1.4.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.4.4.2.1

Cancela el factor común de $- 18750$ y $2$ .

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Paso 1.4.4.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 18750$ .

$d = \frac{2 \cdot - 9375}{2 \cdot - 25}$

Paso 1.4.4.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.4.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot - 25$ .

$d = \frac{2 \cdot - 9375}{2 (- 25)}$

Paso 1.4.4.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 9375}{2 \cdot - 25}$

Paso 1.4.4.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 9375}{- 25}$

Paso 1.4.4.2.2

Cancela el factor común de $- 9375$ y $- 25$ .

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Paso 1.4.4.2.2.1

Factoriza $- 25$ de $- 9375$ .

$d = \frac{- 25 (375)}{- 25}$

Paso 1.4.4.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.4.2.2.2.1

Factoriza $- 25$ de $- 25$ .

$d = \frac{- 25 \cdot 375}{- 25 \cdot 1}$

Paso 1.4.4.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{- 25 \cdot 375}{- 25 \cdot 1}$

Paso 1.4.4.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{375}{1}$

Paso 1.4.4.2.2.2.4

Divide $375$ por $1$ .

$d = 375$

Paso 1.4.5

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.4.5.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 18750)}^{2}}{4 \cdot - 25}$

Paso 1.4.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.4.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.5.2.1.1

Eleva $- 18750$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{351562500}{4 \cdot - 25}$

Paso 1.4.5.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 25$ .

$e = 0 - \frac{351562500}{- 100}$

Paso 1.4.5.2.1.3

Divide $351562500$ por $- 100$ .

$e = 0 - - 3515625$

Paso 1.4.5.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 3515625$ .

$e = 0 + 3515625$

Paso 1.4.5.2.2

Suma $0$ y $3515625$ .

$e = 3515625$

Paso 1.4.6

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- 25 {(y + 375)}^{2} + 3515625$ .

$- 25 {(y + 375)}^{2} + 3515625$

Paso 1.5

Sustituye $- 25 {(y + 375)}^{2} + 3515625$ por $- 25 y^{2} - 250 y \cdot 75$ en la ecuación $16 x^{2} - 25 y^{2} - 160 x - 250 y \cdot 75 = 0$ .

$16 {(x - 5)}^{2} - 25 {(y + 375)}^{2} + 3515625 = 0 + 400$

Paso 1.6

Mueve $3515625$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $3515625$ a ambos lados.

$16 {(x - 5)}^{2} - 25 {(y + 375)}^{2} = 0 + 400 - 3515625$

Paso 1.7

Simplifica $0 + 400 - 3515625$ .

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Paso 1.7.1

Suma $0$ y $400$ .

$16 {(x - 5)}^{2} - 25 {(y + 375)}^{2} = 400 - 3515625$

Paso 1.7.2

Resta $3515625$ de $400$ .

$16 {(x - 5)}^{2} - 25 {(y + 375)}^{2} = - 3515225$

Paso 1.8

Da la vuelta al signo de cada término de la ecuación para que el término del lado derecho sea positivo.

$- 16 {(x - 5)}^{2} + 25 {(y + 375)}^{2} = 3515225$

Paso 1.9

Divide cada término por $3515225$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$- \frac{16 {(x - 5)}^{2}}{3515225} + \frac{25 {(y + 375)}^{2}}{3515225} = \frac{3515225}{3515225}$

Paso 1.10

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{{(y + 375)}^{2}}{140609} - \frac{{(x - 5)}^{2}}{\frac{3515225}{16}} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una hipérbola. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener los vértices y las asíntotas de la hipérbola.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta hipérbola con los de la ecuación ordinaria. La variable $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen, $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen, $a$ .

$a = \sqrt{140609}$

$b = \frac{5 \sqrt{140609}}{4}$

$k = - 375$

$h = 5$

Paso 4

El centro de una hipérbola sigue la forma de $(h, k)$ . Sustituye los valores de $h$ y $k$ .

$(5, - 375)$

Paso 5

Obtén $c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Paso 5.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\sqrt{{(\sqrt{140609})}^{2} + {(\frac{5 \sqrt{140609}}{4})}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Reescribe ${\sqrt{140609}}^{2}$ como $140609$ .

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Paso 5.3.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{140609}$ como $140609^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{{(140609^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(\frac{5 \sqrt{140609}}{4})}^{2}}$

Paso 5.3.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{140609^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(\frac{5 \sqrt{140609}}{4})}^{2}}$

Paso 5.3.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{140609^{\frac{2}{2}} + {(\frac{5 \sqrt{140609}}{4})}^{2}}$

Paso 5.3.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.1.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{140609^{\frac{2}{2}} + {(\frac{5 \sqrt{140609}}{4})}^{2}}$

Paso 5.3.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{140609^{1} + {(\frac{5 \sqrt{140609}}{4})}^{2}}$

Paso 5.3.1.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{140609 + {(\frac{5 \sqrt{140609}}{4})}^{2}}$

Paso 5.3.2

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 5.3.2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{5 \sqrt{140609}}{4}$ .

$\sqrt{140609 + \frac{{(5 \sqrt{140609})}^{2}}{4^{2}}}$

Paso 5.3.2.2

Aplica la regla del producto a $5 \sqrt{140609}$ .

$\sqrt{140609 + \frac{5^{2} {\sqrt{140609}}^{2}}{4^{2}}}$

Paso 5.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.3.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{140609 + \frac{25 {\sqrt{140609}}^{2}}{4^{2}}}$

Paso 5.3.3.2

Reescribe ${\sqrt{140609}}^{2}$ como $140609$ .

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Paso 5.3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{140609}$ como $140609^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{140609 + \frac{25 {(140609^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4^{2}}}$

Paso 5.3.3.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{140609 + \frac{25 \cdot 140609^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4^{2}}}$

Paso 5.3.3.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{140609 + \frac{25 \cdot 140609^{\frac{2}{2}}}{4^{2}}}$

Paso 5.3.3.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.3.2.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{140609 + \frac{25 \cdot 140609^{\frac{2}{2}}}{4^{2}}}$

Paso 5.3.3.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{140609 + \frac{25 \cdot 140609^{1}}{4^{2}}}$

Paso 5.3.3.2.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{140609 + \frac{25 \cdot 140609}{4^{2}}}$

Paso 5.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.4.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{140609 + \frac{25 \cdot 140609}{16}}$

Paso 5.3.4.2

Multiplica $25$ por $140609$ .

$\sqrt{140609 + \frac{3515225}{16}}$

Paso 5.3.5

Para escribir $140609$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{140609 \cdot \frac{16}{16} + \frac{3515225}{16}}$

Paso 5.3.6

Combina $140609$ y $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{140609 \cdot 16}{16} + \frac{3515225}{16}}$

Paso 5.3.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{140609 \cdot 16 + 3515225}{16}}$

Paso 5.3.8

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.8.1

Multiplica $140609$ por $16$ .

$\sqrt{\frac{2249744 + 3515225}{16}}$

Paso 5.3.8.2

Suma $2249744$ y $3515225$ .

$\sqrt{\frac{5764969}{16}}$

Paso 5.3.9

Reescribe $\sqrt{\frac{5764969}{16}}$ como $\frac{\sqrt{5764969}}{\sqrt{16}}$ .

$\frac{\sqrt{5764969}}{\sqrt{16}}$

Paso 5.3.10

Simplifica el denominador.

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Paso 5.3.10.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5764969}}{\sqrt{4^{2}}}$

Paso 5.3.10.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{\sqrt{5764969}}{4}$

Paso 6

Obtén los vértices.

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Paso 6.1

El primer vértice de una hipérbola puede obtenerse al sumar $a$ a $k$ .

$(h, k + a)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(5, - 375 + \sqrt{140609})$

Paso 6.3

El segundo vértice de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $a$ de $k$ .

$(h, k - a)$

Paso 6.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(5, - 375 - \sqrt{140609})$

Paso 6.5

Los vértices de una hipérbola siguen la forma de $(h, k \pm a)$ . Las hipérbolas tienen dos vértices.

$(5, - 375 + \sqrt{140609}), (5, - 375 - \sqrt{140609})$

Paso 7

Obtén los focos.

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Paso 7.1

El primer foco de una hipérbola puede obtenerse al sumar $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(5, - 375 + \frac{\sqrt{5764969}}{4})$

Paso 7.3

El segundo foco de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $c$ de $k$ .

$(h, k - c)$

Paso 7.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(5, - 375 - \frac{\sqrt{5764969}}{4})$

Paso 7.5

Los focos de una hipérbola siguen la forma de $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Las hipérbolas tienen dos focos.

$(5, - 375 + \frac{\sqrt{5764969}}{4}), (5, - 375 - \frac{\sqrt{5764969}}{4})$

Paso 8

Obtén el parámetro focal.

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Paso 8.1

Obtén el valor del parámetro focal de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Paso 8.2

Sustituye los valores de $b$ y $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ en la fórmula.

$\frac{\frac{\frac{5 \sqrt{140609}}{4^{2}}}{\sqrt{5764969}}}{4}$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{\frac{5 \sqrt{140609}}{4^{2}}}{\sqrt{5764969}} \cdot \frac{1}{4}$

Paso 8.3.2

Combinar.

$\frac{\frac{5 \sqrt{140609}}{4^{2}} \cdot 1}{\sqrt{5764969} \cdot 4}$

Paso 8.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 8.3.3.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{140609}}{16} \cdot 1}{\sqrt{5764969} \cdot 4}$

Paso 8.3.3.2

Multiplica $\frac{5 \sqrt{140609}}{16}$ por $1$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{140609}}{16}}{\sqrt{5764969} \cdot 4}$

Paso 8.3.3.3

Mueve $4$ a la izquierda de $\sqrt{5764969}$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{140609}}{16}}{4 \sqrt{5764969}}$

Paso 8.3.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{5 \sqrt{140609}}{16} \cdot \frac{1}{4 \sqrt{5764969}}$

Paso 8.3.5

Multiplica $\frac{1}{4 \sqrt{5764969}}$ por $\frac{\sqrt{5764969}}{\sqrt{5764969}}$ .

$\frac{5 \sqrt{140609}}{16} (\frac{1}{4 \sqrt{5764969}} \cdot \frac{\sqrt{5764969}}{\sqrt{5764969}})$

Paso 8.3.6

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 8.3.6.1

Multiplica $\frac{1}{4 \sqrt{5764969}}$ por $\frac{\sqrt{5764969}}{\sqrt{5764969}}$ .

$\frac{5 \sqrt{140609}}{16} \cdot \frac{\sqrt{5764969}}{4 \sqrt{5764969} \sqrt{5764969}}$

Paso 8.3.6.2

Mueve $\sqrt{5764969}$ .

$\frac{5 \sqrt{140609}}{16} \cdot \frac{\sqrt{5764969}}{4 (\sqrt{5764969} \sqrt{5764969})}$

Paso 8.3.6.3

Eleva $\sqrt{5764969}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{5 \sqrt{140609}}{16} \cdot \frac{\sqrt{5764969}}{4 ({\sqrt{5764969}}^{1} \sqrt{5764969})}$

Paso 8.3.6.4

Eleva $\sqrt{5764969}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{5 \sqrt{140609}}{16} \cdot \frac{\sqrt{5764969}}{4 ({\sqrt{5764969}}^{1} {\sqrt{5764969}}^{1})}$

Paso 8.3.6.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{5 \sqrt{140609}}{16} \cdot \frac{\sqrt{5764969}}{4 {\sqrt{5764969}}^{1 + 1}}$

Paso 8.3.6.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{5 \sqrt{140609}}{16} \cdot \frac{\sqrt{5764969}}{4 {\sqrt{5764969}}^{2}}$

Paso 8.3.6.7

Reescribe ${\sqrt{5764969}}^{2}$ como $5764969$ .

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Paso 8.3.6.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5764969}$ como $5764969^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5 \sqrt{140609}}{16} \cdot \frac{\sqrt{5764969}}{4 {(5764969^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 8.3.6.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5 \sqrt{140609}}{16} \cdot \frac{\sqrt{5764969}}{4 \cdot 5764969^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 8.3.6.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{5 \sqrt{140609}}{16} \cdot \frac{\sqrt{5764969}}{4 \cdot 5764969^{\frac{2}{2}}}$

Paso 8.3.6.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.6.7.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 \sqrt{140609}}{16} \cdot \frac{\sqrt{5764969}}{4 \cdot 5764969^{\frac{2}{2}}}$

Paso 8.3.6.7.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{5 \sqrt{140609}}{16} \cdot \frac{\sqrt{5764969}}{4 \cdot 5764969^{1}}$

Paso 8.3.6.7.5

Evalúa el exponente.

$\frac{5 \sqrt{140609}}{16} \cdot \frac{\sqrt{5764969}}{4 \cdot 5764969}$

Paso 8.3.7

Multiplica $4$ por $5764969$ .

$\frac{5 \sqrt{140609}}{16} \cdot \frac{\sqrt{5764969}}{23059876}$

Paso 8.3.8

Multiplica $\frac{5 \sqrt{140609}}{16} \cdot \frac{\sqrt{5764969}}{23059876}$ .

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Paso 8.3.8.1

Multiplica $\frac{5 \sqrt{140609}}{16}$ por $\frac{\sqrt{5764969}}{23059876}$ .

$\frac{5 \sqrt{140609} \sqrt{5764969}}{16 \cdot 23059876}$

Paso 8.3.8.2

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{5 \sqrt{5764969 \cdot 140609}}{16 \cdot 23059876}$

Paso 8.3.8.3

Multiplica $5764969$ por $140609$ .

$\frac{5 \sqrt{810606526121}}{16 \cdot 23059876}$

Paso 8.3.8.4

Multiplica $16$ por $23059876$ .

$\frac{5 \sqrt{810606526121}}{368958016}$

Paso 8.3.9

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.9.1

Reescribe $810606526121$ como $140609^{2} \cdot 41$ .

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Paso 8.3.9.1.1

Factoriza $19770890881$ de $810606526121$ .

$\frac{5 \sqrt{19770890881 (41)}}{368958016}$

Paso 8.3.9.1.2

Reescribe $19770890881$ como $140609^{2}$ .

$\frac{5 \sqrt{140609^{2} \cdot 41}}{368958016}$

Paso 8.3.9.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{5 \cdot 140609 \sqrt{41}}{368958016}$

Paso 8.3.9.3

Multiplica $5$ por $140609$ .

$\frac{703045 \sqrt{41}}{368958016}$

Paso 8.3.10

Cancela el factor común de $703045$ y $368958016$ .

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Paso 8.3.10.1

Factoriza $140609$ de $703045 \sqrt{41}$ .

$\frac{140609 (5 \sqrt{41})}{368958016}$

Paso 8.3.10.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.10.2.1

Factoriza $140609$ de $368958016$ .

$\frac{140609 (5 \sqrt{41})}{140609 (2624)}$

Paso 8.3.10.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{140609 (5 \sqrt{41})}{140609 \cdot 2624}$

Paso 8.3.10.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{5 \sqrt{41}}{2624}$

Paso 9

Las asíntotas siguen la forma $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ porque esta hipérbola abre hacia arriba y hacia abajo.

$y = \pm \frac{4}{5} \cdot (x - (5)) - 375$

Paso 10

Simplifica para obtener la primera asíntota.

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Paso 10.1

Elimina los paréntesis.

$y = \frac{4}{5} \cdot (x - (5)) - 375$

Paso 10.2

Simplifica $\frac{4}{5} \cdot (x - (5)) - 375$ .

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Paso 10.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$y = \frac{4}{5} \cdot (x - 5) - 375$

Paso 10.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{4}{5} x + \frac{4}{5} \cdot - 5 - 375$

Paso 10.2.1.3

Combina $\frac{4}{5}$ y $x$ .

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{4}{5} \cdot - 5 - 375$

Paso 10.2.1.4

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 10.2.1.4.1

Factoriza $5$ de $- 5$ .

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{4}{5} \cdot (5 (- 1)) - 375$

Paso 10.2.1.4.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{4}{5} \cdot (5 \cdot - 1) - 375$

Paso 10.2.1.4.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{4 x}{5} + 4 \cdot - 1 - 375$

Paso 10.2.1.5

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$y = \frac{4 x}{5} - 4 - 375$

Paso 10.2.2

Resta $375$ de $- 4$ .

$y = \frac{4 x}{5} - 379$

Paso 11

Simplifica para obtener la segunda asíntota.

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Paso 11.1

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{4}{5} \cdot (x - (5)) - 375$

Paso 11.2

Simplifica $- \frac{4}{5} \cdot (x - (5)) - 375$ .

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Paso 11.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$y = - \frac{4}{5} \cdot (x - 5) - 375$

Paso 11.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - \frac{4}{5} x - \frac{4}{5} \cdot - 5 - 375$

Paso 11.2.1.3

Combina $x$ y $\frac{4}{5}$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{5} - \frac{4}{5} \cdot - 5 - 375$

Paso 11.2.1.4

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 11.2.1.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{4}{5}$ al numerador.

$y = - \frac{x \cdot 4}{5} + \frac{- 4}{5} \cdot - 5 - 375$

Paso 11.2.1.4.2

Factoriza $5$ de $- 5$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{5} + \frac{- 4}{5} \cdot (5 (- 1)) - 375$

Paso 11.2.1.4.3

Cancela el factor común.

$y = - \frac{x \cdot 4}{5} + \frac{- 4}{5} \cdot (5 \cdot - 1) - 375$

Paso 11.2.1.4.4

Reescribe la expresión.

$y = - \frac{x \cdot 4}{5} - 4 \cdot - 1 - 375$

Paso 11.2.1.5

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{5} + 4 - 375$

Paso 11.2.1.6

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$y = - \frac{4 x}{5} + 4 - 375$

Paso 11.2.2

Resta $375$ de $4$ .

$y = - \frac{4 x}{5} - 371$

Paso 12

Esta hipérbola tiene dos asíntotas.

$y = \frac{4 x}{5} - 379, y = - \frac{4 x}{5} - 371$

Paso 13

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de una hipérbola.

Centro: $(5, - 375)$

Vértices: $(5, - 375 + \sqrt{140609}), (5, - 375 - \sqrt{140609})$

Focos: $(5, - 375 + \frac{\sqrt{5764969}}{4}), (5, - 375 - \frac{\sqrt{5764969}}{4})$

Excentricidad: $(5, - 375 + \frac{\sqrt{5764969}}{4}), (5, - 375 - \frac{\sqrt{5764969}}{4})$

Parámetro focal: $\frac{5 \sqrt{41}}{2624}$

Asíntotas: $y = \frac{4 x}{5} - 379$ , $y = - \frac{4 x}{5} - 371$

Paso 14