Precálculo Ejemplos

$x^{2} - y^{2} - 4 y = 21$

Paso 1

Obtén la ecuación ordinaria de la hipérbola.

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Paso 1.1

Completa el cuadrado de $- y^{2} - 4 y$ .

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Paso 1.1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 1$

$b = - 4$

$c = 0$

Paso 1.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.3.2.1

Cancela el factor común de $- 4$ y $2$ .

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Paso 1.1.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.1.3.2.1.2

Mueve el negativo del denominador de $\frac{- 2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 2$

Paso 1.1.3.2.2

Reescribe $- 1 \cdot - 2$ como $- - 2$ .

$d = - - 2$

Paso 1.1.3.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$d = 2$

Paso 1.1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Paso 1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.4.2.1.1

Cancela el factor común de ${(- 4)}^{2}$ y $4$ .

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Paso 1.1.4.2.1.1.1

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Paso 1.1.4.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Paso 1.1.4.2.1.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Paso 1.1.4.2.1.1.4

Multiplica $4^{2}$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Paso 1.1.4.2.1.1.5

Factoriza $4$ de $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 1}$

Paso 1.1.4.2.1.1.6

Mueve el negativo del denominador de $\frac{4}{- 1}$ .

$e = 0 - (- 1 \cdot 4)$

Paso 1.1.4.2.1.2

Multiplica $- (- 1 \cdot 4)$ .

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Paso 1.1.4.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$e = 0 - - 4$

Paso 1.1.4.2.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$e = 0 + 4$

Paso 1.1.4.2.2

Suma $0$ y $4$ .

$e = 4$

Paso 1.1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- {(y + 2)}^{2} + 4$ .

$- {(y + 2)}^{2} + 4$

Paso 1.2

Sustituye $- {(y + 2)}^{2} + 4$ por $- y^{2} - 4 y$ en la ecuación $x^{2} - y^{2} - 4 y = 21$ .

$x^{2} - {(y + 2)}^{2} + 4 = 21$

Paso 1.3

Mueve $4$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $4$ a ambos lados.

$x^{2} - {(y + 2)}^{2} = 21 - 4$

Paso 1.4

Resta $4$ de $21$ .

$x^{2} - {(y + 2)}^{2} = 17$

Paso 1.5

Divide cada término por $17$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$\frac{x^{2}}{17} - \frac{{(y + 2)}^{2}}{17} = \frac{17}{17}$

Paso 1.6

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{x^{2}}{17} - \frac{{(y + 2)}^{2}}{17} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una hipérbola. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener los vértices y las asíntotas de la hipérbola.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta hipérbola con los de la ecuación ordinaria. La variable $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen, $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen, $a$ .

$a = \sqrt{17}$

$b = \sqrt{17}$

$k = - 2$

$h = 0$

Paso 4

El centro de una hipérbola sigue la forma de $(h, k)$ . Sustituye los valores de $h$ y $k$ .

$(0, - 2)$

Paso 5

Obtén $c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Paso 5.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\sqrt{{(\sqrt{17})}^{2} + {(\sqrt{17})}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Reescribe ${\sqrt{17}}^{2}$ como $17$ .

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Paso 5.3.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{17}$ como $17^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{{(17^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(\sqrt{17})}^{2}}$

Paso 5.3.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{17^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(\sqrt{17})}^{2}}$

Paso 5.3.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{17^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{17})}^{2}}$

Paso 5.3.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.1.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{17^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{17})}^{2}}$

Paso 5.3.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{17^{1} + {(\sqrt{17})}^{2}}$

Paso 5.3.1.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{17 + {(\sqrt{17})}^{2}}$

Paso 5.3.2

Reescribe ${\sqrt{17}}^{2}$ como $17$ .

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Paso 5.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{17}$ como $17^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{17 + {(17^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 5.3.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{17 + 17^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 5.3.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{17 + 17^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.3.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.2.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{17 + 17^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.3.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{17 + 17^{1}}$

Paso 5.3.2.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{17 + 17}$

Paso 5.3.3

Suma $17$ y $17$ .

$\sqrt{34}$

Paso 6

Obtén los vértices.

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Paso 6.1

El primer vértice de una hipérbola puede obtenerse al sumar $a$ a $h$ .

$(h + a, k)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(\sqrt{17}, - 2)$

Paso 6.3

El segundo vértice de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $a$ de $h$ .

$(h - a, k)$

Paso 6.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- \sqrt{17}, - 2)$

Paso 6.5

Los vértices de una hipérbola siguen la forma de $(h \pm a, k)$ . Las hipérbolas tienen dos vértices.

$(\sqrt{17}, - 2), (- \sqrt{17}, - 2)$

Paso 7

Obtén los focos.

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Paso 7.1

El primer foco de una hipérbola puede obtenerse al sumar $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(\sqrt{34}, - 2)$

Paso 7.3

El segundo foco de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $c$ de $h$ .

$(h - c, k)$

Paso 7.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- \sqrt{34}, - 2)$

Paso 7.5

Los focos de una hipérbola siguen la forma de $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Las hipérbolas tienen dos focos.

$(\sqrt{34}, - 2), (- \sqrt{34}, - 2)$

Paso 8

Obtén la excentricidad.

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Paso 8.1

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Paso 8.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(\sqrt{17})}^{2} + {(\sqrt{17})}^{2}}}{\sqrt{17}}$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.1.1

Reescribe ${\sqrt{17}}^{2}$ como $17$ .

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Paso 8.3.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{17}$ como $17^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{{(17^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{17}}^{2}}}{\sqrt{17}}$

Paso 8.3.1.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{17^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{17}}^{2}}}{\sqrt{17}}$

Paso 8.3.1.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{17^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{17}}^{2}}}{\sqrt{17}}$

Paso 8.3.1.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.1.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{17^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{17}}^{2}}}{\sqrt{17}}$

Paso 8.3.1.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{17^{1} + {\sqrt{17}}^{2}}}{\sqrt{17}}$

Paso 8.3.1.1.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt{17 + {\sqrt{17}}^{2}}}{\sqrt{17}}$

Paso 8.3.1.2

Reescribe ${\sqrt{17}}^{2}$ como $17$ .

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Paso 8.3.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{17}$ como $17^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{17 + {(17^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\sqrt{17}}$

Paso 8.3.1.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{17 + 17^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\sqrt{17}}$

Paso 8.3.1.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{17 + 17^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{17}}$

Paso 8.3.1.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.1.2.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{17 + 17^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{17}}$

Paso 8.3.1.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{17 + 17^{1}}}{\sqrt{17}}$

Paso 8.3.1.2.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt{17 + 17}}{\sqrt{17}}$

Paso 8.3.1.3

Suma $17$ y $17$ .

$\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{17}}$

Paso 8.3.2

Combina $\sqrt{34}$ y $\sqrt{17}$ en un solo radical.

$\sqrt{\frac{34}{17}}$

Paso 8.3.3

Divide $34$ por $17$ .

$\sqrt{2}$

Paso 9

Obtén el parámetro focal.

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Paso 9.1

Obtén el valor del parámetro focal de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Paso 9.2

Sustituye los valores de $b$ y $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ en la fórmula.

$\frac{{\sqrt{17}}^{2}}{\sqrt{34}}$

Paso 9.3

Simplifica.

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Paso 9.3.1

Reescribe ${\sqrt{17}}^{2}$ como $17$ .

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Paso 9.3.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{17}$ como $17^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(17^{\frac{1}{2}})}^{2}}{\sqrt{34}}$

Paso 9.3.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{17^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{\sqrt{34}}$

Paso 9.3.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{17^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{34}}$

Paso 9.3.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.3.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{17^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{34}}$

Paso 9.3.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{17^{1}}{\sqrt{34}}$

Paso 9.3.1.5

Evalúa el exponente.

$\frac{17}{\sqrt{34}}$

Paso 9.3.2

Multiplica $\frac{17}{\sqrt{34}}$ por $\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$ .

$\frac{17}{\sqrt{34}} \cdot \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$

Paso 9.3.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 9.3.3.1

Multiplica $\frac{17}{\sqrt{34}}$ por $\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$ .

$\frac{17 \sqrt{34}}{\sqrt{34} \sqrt{34}}$

Paso 9.3.3.2

Eleva $\sqrt{34}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{17 \sqrt{34}}{{\sqrt{34}}^{1} \sqrt{34}}$

Paso 9.3.3.3

Eleva $\sqrt{34}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{17 \sqrt{34}}{{\sqrt{34}}^{1} {\sqrt{34}}^{1}}$

Paso 9.3.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{17 \sqrt{34}}{{\sqrt{34}}^{1 + 1}}$

Paso 9.3.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{17 \sqrt{34}}{{\sqrt{34}}^{2}}$

Paso 9.3.3.6

Reescribe ${\sqrt{34}}^{2}$ como $34$ .

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Paso 9.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{34}$ como $34^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{17 \sqrt{34}}{{(34^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 9.3.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{17 \sqrt{34}}{34^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 9.3.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{17 \sqrt{34}}{34^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.3.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.3.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{17 \sqrt{34}}{34^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.3.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{17 \sqrt{34}}{34^{1}}$

Paso 9.3.3.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{17 \sqrt{34}}{34}$

Paso 9.3.4

Cancela el factor común de $17$ y $34$ .

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Paso 9.3.4.1

Factoriza $17$ de $17 \sqrt{34}$ .

$\frac{17 (\sqrt{34})}{34}$

Paso 9.3.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.3.4.2.1

Factoriza $17$ de $34$ .

$\frac{17 \sqrt{34}}{17 \cdot 2}$

Paso 9.3.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{17 \sqrt{34}}{17 \cdot 2}$

Paso 9.3.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{34}}{2}$

Paso 10

Las asíntotas siguen la forma $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ porque esta hipérbola abre hacia la izquierda y la derecha.

$y = \pm 1 \cdot x - 2$

Paso 11

Multiplica $x$ por $1$ .

$y = x - 2$

Paso 12

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$y = - x - 2$

Paso 13

Esta hipérbola tiene dos asíntotas.

$y = x - 2, y = - x - 2$

Paso 14

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de una hipérbola.

Centro: $(0, - 2)$

Vértices: $(\sqrt{17}, - 2), (- \sqrt{17}, - 2)$

Focos: $(\sqrt{34}, - 2), (- \sqrt{34}, - 2)$

Excentricidad: $\sqrt{2}$

Parámetro focal: $\frac{\sqrt{34}}{2}$

Asíntotas: $y = x - 2$ , $y = - x - 2$

Paso 15