Precálculo Ejemplos

${(x - 3)}^{2} = - (y - 1)$

Paso 1

Aísla $y$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Reescribe la ecuación como $- (y - 1) = {(x - 3)}^{2}$ .

$- (y - 1) = {(x - 3)}^{2}$

Paso 1.2

Simplifica $- (y - 1)$ .

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- y - - 1 = {(x - 3)}^{2}$

Paso 1.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- y + 1 = {(x - 3)}^{2}$

Paso 1.3

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- y = {(x - 3)}^{2} - 1$

Paso 1.4

Divide cada término en $- y = {(x - 3)}^{2} - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 1.4.1

Divide cada término en $- y = {(x - 3)}^{2} - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{{(x - 3)}^{2}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 1.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.4.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{{(x - 3)}^{2}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 1.4.2.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{{(x - 3)}^{2}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 1.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{{(x - 3)}^{2}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot {(x - 3)}^{2} + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 1.4.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot {(x - 3)}^{2}$ como $- {(x - 3)}^{2}$ .

$y = - {(x - 3)}^{2} + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 1.4.3.1.3

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$y = - {(x - 3)}^{2} + 1$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = - 1$

$h = 3$

$k = 1$

Paso 3

Como el valor de $a$ es negativo, la parábola se abre hacia abajo.

Abre hacia abajo

Paso 4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(3, 1)$

Paso 5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Paso 5.3

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 5.3.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Paso 5.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{4}$

Paso 6

Obtén el foco.

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Paso 6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(3, \frac{3}{4})$

Paso 7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = 3$

Paso 8

Obtén la directriz.

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Paso 8.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = \frac{5}{4}$

Paso 9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(3, 1)$

Foco: $(3, \frac{3}{4})$

Eje de simetría: $x = 3$

Directriz: $y = \frac{5}{4}$

Paso 10