Precálculo Ejemplos

${(y - 2)}^{2} = 4 (1.5) (x - 4.5)$

Paso 1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1

Aísla $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1.1

Reescribe la ecuación como $4 (1.5) (x - 4.5) = {(y - 2)}^{2}$ .

$4 (1.5) (x - 4.5) = {(y - 2)}^{2}$

Paso 1.1.2

Multiplica $4$ por $1.5$ .

$6 (x - 4.5) = {(y - 2)}^{2}$

Paso 1.1.3

Divide cada término en $6 (x - 4.5) = {(y - 2)}^{2}$ por $6$ y simplifica.

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Paso 1.1.3.1

Divide cada término en $6 (x - 4.5) = {(y - 2)}^{2}$ por $6$ .

$\frac{6 (x - 4.5)}{6} = \frac{{(y - 2)}^{2}}{6}$

Paso 1.1.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.3.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 1.1.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 (x - 4.5)}{6} = \frac{{(y - 2)}^{2}}{6}$

Paso 1.1.3.2.1.2

Divide $x - 4.5$ por $1$ .

$x - 4.5 = \frac{{(y - 2)}^{2}}{6}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.3.3.1

Multiplica por $1$ .

$x - 4.5 = \frac{1 {(y - 2)}^{2}}{6}$

Paso 1.1.3.3.2

Factoriza $6$ de $6$ .

$x - 4.5 = \frac{1 {(y - 2)}^{2}}{6 (1)}$

Paso 1.1.3.3.3

Separa las fracciones.

$x - 4.5 = \frac{1}{6} \cdot \frac{{(y - 2)}^{2}}{1}$

Paso 1.1.3.3.4

Divide $1$ por $6$ .

$x - 4.5 = 0.1\overline{6} \frac{{(y - 2)}^{2}}{1}$

Paso 1.1.3.3.5

Divide ${(y - 2)}^{2}$ por $1$ .

$x - 4.5 = 0.1\overline{6} {(y - 2)}^{2}$

Paso 1.1.4

Suma $4.5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 0.1\overline{6} {(y - 2)}^{2} + 4.5$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $0.1\overline{6} {(y - 2)}^{2} + 4.5$ .

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Paso 1.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1.1.1

Reescribe ${(y - 2)}^{2}$ como $(y - 2) (y - 2)$ .

$0.1\overline{6} ((y - 2) (y - 2)) + 4.5$

Paso 1.2.1.1.2

Expande $(y - 2) (y - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$0.1\overline{6} (y (y - 2) - 2 (y - 2)) + 4.5$

Paso 1.2.1.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$0.1\overline{6} (y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 (y - 2)) + 4.5$

Paso 1.2.1.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$0.1\overline{6} (y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2) + 4.5$

Paso 1.2.1.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.2.1.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1.1.3.1.1

Multiplica $y$ por $y$ .

$0.1\overline{6} (y^{2} + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2) + 4.5$

Paso 1.2.1.1.3.1.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $y$ .

$0.1\overline{6} (y^{2} - 2 \cdot y - 2 y - 2 \cdot - 2) + 4.5$

Paso 1.2.1.1.3.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$0.1\overline{6} (y^{2} - 2 y - 2 y + 4) + 4.5$

Paso 1.2.1.1.3.2

Resta $2 y$ de $- 2 y$ .

$0.1\overline{6} (y^{2} - 4 y + 4) + 4.5$

Paso 1.2.1.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$0.1\overline{6} y^{2} + 0.1\overline{6} (- 4 y) + 0.1\overline{6} \cdot 4 + 4.5$

Paso 1.2.1.1.5

Simplifica.

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Paso 1.2.1.1.5.1

Multiplica $- 4$ por $0.1\overline{6}$ .

$0.1\overline{6} y^{2} - 0.\overline{6} y + 0.1\overline{6} \cdot 4 + 4.5$

Paso 1.2.1.1.5.2

Multiplica $0.1\overline{6}$ por $4$ .

$0.1\overline{6} y^{2} - 0.\overline{6} y + 0.\overline{6} + 4.5$

Paso 1.2.1.2

Suma $0.\overline{6}$ y $4.5$ .

$0.1\overline{6} y^{2} - 0.\overline{6} y + 5.1\overline{6}$

Paso 1.2.2

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 0.1\overline{6}$

$b = - 0.\overline{6}$

$c = 5.1\overline{6}$

Paso 1.2.3

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 0.\overline{6}}{2 \cdot 0.1\overline{6}}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Multiplica $2$ por $0.1\overline{6}$ .

$d = \frac{- 0.\overline{6}}{0.\overline{3}}$

Paso 1.2.4.2.2

Divide $- 0.\overline{6}$ por $0.\overline{3}$ .

$d = - 2$

Paso 1.2.5

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.5.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 5.1\overline{6} - \frac{{(- 0.\overline{6})}^{2}}{4 \cdot 0.1\overline{6}}$

Paso 1.2.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.5.2.1.1

Eleva $- 0.\overline{6}$ a la potencia de $2$ .

$e = 5.1\overline{6} - \frac{0.\overline{4}}{4 \cdot 0.1\overline{6}}$

Paso 1.2.5.2.1.2

Multiplica $4$ por $0.1\overline{6}$ .

$e = 5.1\overline{6} - \frac{0.\overline{4}}{0.\overline{6}}$

Paso 1.2.5.2.1.3

Divide $0.\overline{4}$ por $0.\overline{6}$ .

$e = 5.1\overline{6} - 1 \cdot 0.66666666$

Paso 1.2.5.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $0.66666666$ .

$e = 5.1\overline{6} - 0.66666666$

Paso 1.2.5.2.2

Resta $0.66666666$ de $5.1\overline{6}$ .

$e = 4.5$

Paso 1.2.6

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $0.1\overline{6} {(y - 2)}^{2} + 4.5$ .

$0.1\overline{6} {(y - 2)}^{2} + 4.5$

Paso 1.3

Establece $x$ igual al nuevo lado derecho.

$x = 0.1\overline{6} {(y - 2)}^{2} + 4.5$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = 0.1\overline{6}$

$h = 4.5$

$k = 2$

Paso 3

Como el valor de $a$ es positivo, la parábola se abre hacia la derecha.

Abre a la derecha

Paso 4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(4.5, 2)$

Paso 5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot 0.1\overline{6}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Multiplica $4$ por $0.1\overline{6}$ .

$\frac{1}{0.\overline{6}}$

Paso 5.3.2

Divide $1$ por $0.\overline{6}$ .

$1.4\overline{9}$

Paso 6

Obtén el foco.

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Paso 6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada x $h$ si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$(h + p, k)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(6, 2)$

Paso 7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$y = 2$

Paso 8

Obtén la directriz.

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Paso 8.1

La directriz de una parábola es la recta vertical que se obtiene al restar $p$ de la coordenada x $h$ del vértice si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$x = h - p$

Paso 8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $h$ en la fórmula y simplifica.

$x = 3$

Paso 9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre a la derecha

Vértice: $(4.5, 2)$

Foco: $(6, 2)$

Eje de simetría: $y = 2$

Directriz: $x = 3$

Paso 10