Precálculo Ejemplos

$9 x^{2} + 9 y^{2} + 6 x - 18 y - 2 = 0$

Paso 1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$9 x^{2} + 9 y^{2} + 6 x - 18 y = 2$

Paso 2

Divide ambos lados de la ecuación por $9$ .

$x^{2} + y^{2} + \frac{2 x}{3} - 2 y = \frac{2}{9}$

Paso 3

Completa el cuadrado de $x^{2} + \frac{2 x}{3}$ .

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Paso 3.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = \frac{2}{3}$

$c = 0$

Paso 3.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 3.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 3.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{2}{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2 (1)}$

Paso 3.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{1}{3}$

Paso 3.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 3.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(\frac{2}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.2.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{2}{3}$ .

$e = 0 - \frac{\frac{2^{2}}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

Paso 3.4.2.1.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{\frac{4}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

Paso 3.4.2.1.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{\frac{4}{9}}{4 \cdot 1}$

Paso 3.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{4}{9}}{4}$

Paso 3.4.2.1.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e = 0 - (\frac{4}{9} \cdot \frac{1}{4})$

Paso 3.4.2.1.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.4.2.1.4.1

Cancela el factor común.

$e = 0 - (\frac{4}{9} \cdot \frac{1}{4})$

Paso 3.4.2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$e = 0 - \frac{1}{9}$

Paso 3.4.2.2

Resta $\frac{1}{9}$ de $0$ .

$e = - \frac{1}{9}$

Paso 3.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(x + \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{9}$ .

${(x + \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{9}$

Paso 4

Sustituye ${(x + \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{9}$ por $x^{2} + \frac{2 x}{3}$ en la ecuación $x^{2} + y^{2} + \frac{2 x}{3} - 2 y = \frac{2}{9}$ .

${(x + \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{9} + y^{2} - 2 y = \frac{2}{9}$

Paso 5

Mueve $- \frac{1}{9}$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $\frac{1}{9}$ a ambos lados.

${(x + \frac{1}{3})}^{2} + y^{2} - 2 y = \frac{2}{9} + \frac{1}{9}$

Paso 6

Completa el cuadrado de $y^{2} - 2 y$ .

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Paso 6.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = - 2$

$c = 0$

Paso 6.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 6.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 6.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 1}$

Paso 6.3.2

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 6.3.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Paso 6.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Paso 6.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Paso 6.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 1}{1}$

Paso 6.3.2.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$d = - 1$

Paso 6.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 6.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 6.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.4.2.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Paso 6.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Paso 6.4.2.1.3

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 6.4.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Paso 6.4.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Paso 6.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$e = 0 - 1$

Paso 6.4.2.2

Resta $1$ de $0$ .

$e = - 1$

Paso 6.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(y - 1)}^{2} - 1$ .

${(y - 1)}^{2} - 1$

Paso 7

Sustituye ${(y - 1)}^{2} - 1$ por $y^{2} - 2 y$ en la ecuación $x^{2} + y^{2} + \frac{2 x}{3} - 2 y = \frac{2}{9}$ .

${(x + \frac{1}{3})}^{2} + {(y - 1)}^{2} - 1 = \frac{2}{9} + \frac{1}{9}$

Paso 8

Mueve $- 1$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $1$ a ambos lados.

${(x + \frac{1}{3})}^{2} + {(y - 1)}^{2} = \frac{2}{9} + \frac{1}{9} + 1$

Paso 9

Simplifica $\frac{2}{9} + \frac{1}{9} + 1$ .

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Paso 9.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

${(x + \frac{1}{3})}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1 + \frac{2 + 1}{9}$

Paso 9.2

Suma $2$ y $1$ .

${(x + \frac{1}{3})}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1 + \frac{3}{9}$

Paso 9.3

Cancela el factor común de $3$ y $9$ .

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Paso 9.3.1

Factoriza $3$ de $3$ .

${(x + \frac{1}{3})}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1 + \frac{3 (1)}{9}$

Paso 9.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.3.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

${(x + \frac{1}{3})}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1 + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

Paso 9.3.2.2

Cancela el factor común.

${(x + \frac{1}{3})}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1 + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

Paso 9.3.2.3

Reescribe la expresión.

${(x + \frac{1}{3})}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1 + \frac{1}{3}$

Paso 9.4

Simplifica la expresión.

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Paso 9.4.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

${(x + \frac{1}{3})}^{2} + {(y - 1)}^{2} = \frac{3}{3} + \frac{1}{3}$

Paso 9.4.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

${(x + \frac{1}{3})}^{2} + {(y - 1)}^{2} = \frac{3 + 1}{3}$

Paso 9.4.3

Suma $3$ y $1$ .

${(x + \frac{1}{3})}^{2} + {(y - 1)}^{2} = \frac{4}{3}$

Paso 10

Esta es la forma de un círculo. Usa esta forma para determinar el centro y el radio del círculo.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Paso 11

Haz coincidir los valores de este círculo con los de la ecuación ordinaria. La variable $r$ representa el radio del círculo, $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen y $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen.

$r = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

$h = - \frac{1}{3}$

$k = 1$

Paso 12

El centro del círculo se ubica en $(h, k)$ .

Centro: $(- \frac{1}{3}, 1)$

Paso 13

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de un círculo.

Centro: $(- \frac{1}{3}, 1)$

Radio: $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 14