Precálculo Ejemplos

$x^{2} + y^{2} - 5 x - y - 1 = 0$

Paso 1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + y^{2} - 5 x - y = 1$

Paso 2

Completa el cuadrado de $x^{2} - 5 x$ .

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Paso 2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = - 5$

$c = 0$

Paso 2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 5}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.2.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$d = \frac{- 5}{2}$

Paso 2.3.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$d = - \frac{5}{2}$

Paso 2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 5)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.2.1.1

Eleva $- 5$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{25}{4 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{25}{4}$

Paso 2.4.2.2

Resta $\frac{25}{4}$ de $0$ .

$e = - \frac{25}{4}$

Paso 2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$

Paso 3

Sustituye ${(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$ por $x^{2} - 5 x$ en la ecuación $x^{2} + y^{2} - 5 x - y = 1$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4} + y^{2} - y = 1$

Paso 4

Mueve $- \frac{25}{4}$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $\frac{25}{4}$ a ambos lados.

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + y^{2} - y = 1 + \frac{25}{4}$

Paso 5

Completa el cuadrado de $y^{2} - y$ .

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Paso 5.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = - 1$

$c = 0$

Paso 5.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 5.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 5.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 1}{2 \cdot 1}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $- 1$ y $1$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$d = \frac{- 1 (1)}{2 \cdot 1}$

Paso 5.3.2.1.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{- 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}$

Paso 5.3.2.1.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 1}{2}$

Paso 5.3.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$d = - \frac{1}{2}$

Paso 5.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 5.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 1}$

Paso 5.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{1}{4}$

Paso 5.4.2.2

Resta $\frac{1}{4}$ de $0$ .

$e = - \frac{1}{4}$

Paso 5.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(y - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ .

${(y - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$

Paso 6

Sustituye ${(y - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ por $y^{2} - y$ en la ecuación $x^{2} + y^{2} - 5 x - y = 1$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} = 1 + \frac{25}{4}$

Paso 7

Mueve $- \frac{1}{4}$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $\frac{1}{4}$ a ambos lados.

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = 1 + \frac{25}{4} + \frac{1}{4}$

Paso 8

Simplifica $1 + \frac{25}{4} + \frac{1}{4}$ .

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Paso 8.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = 1 + \frac{25 + 1}{4}$

Paso 8.2

Suma $25$ y $1$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = 1 + \frac{26}{4}$

Paso 8.3

Cancela el factor común de $26$ y $4$ .

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Paso 8.3.1

Factoriza $2$ de $26$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = 1 + \frac{2 (13)}{4}$

Paso 8.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = 1 + \frac{2 \cdot 13}{2 \cdot 2}$

Paso 8.3.2.2

Cancela el factor común.

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = 1 + \frac{2 \cdot 13}{2 \cdot 2}$

Paso 8.3.2.3

Reescribe la expresión.

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = 1 + \frac{13}{2}$

Paso 8.4

Simplifica la expresión.

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Paso 8.4.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{2}{2} + \frac{13}{2}$

Paso 8.4.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{2 + 13}{2}$

Paso 8.4.3

Suma $2$ y $13$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{15}{2}$

Paso 9

Esta es la forma de un círculo. Usa esta forma para determinar el centro y el radio del círculo.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Paso 10

Haz coincidir los valores de este círculo con los de la ecuación ordinaria. La variable $r$ representa el radio del círculo, $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen y $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen.

$r = \frac{\sqrt{30}}{2}$

$h = \frac{5}{2}$

$k = \frac{1}{2}$

Paso 11

El centro del círculo se ubica en $(h, k)$ .

Centro: $(\frac{5}{2}, \frac{1}{2})$

Paso 12

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de un círculo.

Centro: $(\frac{5}{2}, \frac{1}{2})$

Radio: $\frac{\sqrt{30}}{2}$

Paso 13