Precálculo Ejemplos

$\frac{2}{3} \cdot \ln (8) + \ln (x) + \ln (x^{2} - 4) - \ln (x - 2)$

Paso 1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{2}{3} \cdot \ln (8) + \ln (x (x^{2} - 4)) - \ln (x - 2)$

Paso 2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{2}{3} \cdot \ln (8) + \ln (\frac{x (x^{2} - 4)}{x - 2})$

Paso 3

Simplifica cada término.

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Paso 3.1

Simplifica $\frac{2}{3} \ln (8)$ al mover $\frac{2}{3}$ dentro del algoritmo.

$\ln (8^{\frac{2}{3}}) + \ln (\frac{x (x^{2} - 4)}{x - 2})$

Paso 3.2

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$\ln ({(2^{3})}^{\frac{2}{3}}) + \ln (\frac{x (x^{2} - 4)}{x - 2})$

Paso 3.3

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (2^{3 (\frac{2}{3})}) + \ln (\frac{x (x^{2} - 4)}{x - 2})$

Paso 3.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.4.1

Cancela el factor común.

$\ln (2^{3 (\frac{2}{3})}) + \ln (\frac{x (x^{2} - 4)}{x - 2})$

Paso 3.4.2

Reescribe la expresión.

$\ln (2^{2}) + \ln (\frac{x (x^{2} - 4)}{x - 2})$

Paso 3.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\ln (4) + \ln (\frac{x (x^{2} - 4)}{x - 2})$

Paso 3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 3.6.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\ln (4) + \ln (\frac{x (x^{2} - 2^{2})}{x - 2})$

Paso 3.6.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$\ln (4) + \ln (\frac{x (x + 2) (x - 2)}{x - 2})$

Paso 3.7

Cancela el factor común de $x - 2$ .

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Paso 3.7.1

Cancela el factor común.

$\ln (4) + \ln (\frac{x (x + 2) (x - 2)}{x - 2})$

Paso 3.7.2

Divide $x (x + 2)$ por $1$ .

$\ln (4) + \ln (x (x + 2))$

Paso 3.8

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (4) + \ln (x \cdot x + x \cdot 2)$

Paso 3.9

Multiplica $x$ por $x$ .

$\ln (4) + \ln (x^{2} + x \cdot 2)$

Paso 3.10

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\ln (4) + \ln (x^{2} + 2 x)$

Paso 4

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (4 (x^{2} + 2 x))$

Paso 5

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (4 x^{2} + 4 (2 x))$

Paso 6

Multiplica $2$ por $4$ .

$\ln (4 x^{2} + 8 x)$