Precálculo Ejemplos

$4 x^{2} - 4 x + 4 y^{2} + 24 y + 19 = 0$

Paso 1

Resta $19$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x^{2} - 4 x + 4 y^{2} + 24 y = - 19$

Paso 2

Divide ambos lados de la ecuación por $4$ .

$x^{2} - x + y^{2} + 6 y = - \frac{19}{4}$

Paso 3

Completa el cuadrado de $x^{2} - x$ .

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Paso 3.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = - 1$

$c = 0$

Paso 3.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 3.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 3.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 1}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $- 1$ y $1$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$d = \frac{- 1 (1)}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.2.1.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{- 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.2.1.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 1}{2}$

Paso 3.3.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$d = - \frac{1}{2}$

Paso 3.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 3.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 1}$

Paso 3.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{1}{4}$

Paso 3.4.2.2

Resta $\frac{1}{4}$ de $0$ .

$e = - \frac{1}{4}$

Paso 3.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$

Paso 4

Sustituye ${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ por $x^{2} - x$ en la ecuación $x^{2} - x + y^{2} + 6 y = - \frac{19}{4}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} + y^{2} + 6 y = - \frac{19}{4}$

Paso 5

Mueve $- \frac{1}{4}$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $\frac{1}{4}$ a ambos lados.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + y^{2} + 6 y = - \frac{19}{4} + \frac{1}{4}$

Paso 6

Completa el cuadrado de $y^{2} + 6 y$ .

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Paso 6.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = 6$

$c = 0$

Paso 6.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 6.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 6.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{6}{2 \cdot 1}$

Paso 6.3.2

Cancela el factor común de $6$ y $2$ .

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Paso 6.3.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}$

Paso 6.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)}$

Paso 6.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}$

Paso 6.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{3}{1}$

Paso 6.3.2.2.4

Divide $3$ por $1$ .

$d = 3$

Paso 6.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 6.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{6^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 6.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.4.2.1.1

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot 1}$

Paso 6.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{36}{4}$

Paso 6.4.2.1.3

Divide $36$ por $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 9$

Paso 6.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$e = 0 - 9$

Paso 6.4.2.2

Resta $9$ de $0$ .

$e = - 9$

Paso 6.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(y + 3)}^{2} - 9$ .

${(y + 3)}^{2} - 9$

Paso 7

Sustituye ${(y + 3)}^{2} - 9$ por $y^{2} + 6 y$ en la ecuación $x^{2} - x + y^{2} + 6 y = - \frac{19}{4}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 3)}^{2} - 9 = - \frac{19}{4} + \frac{1}{4}$

Paso 8

Mueve $- 9$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $9$ a ambos lados.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 3)}^{2} = - \frac{19}{4} + \frac{1}{4} + 9$

Paso 9

Simplifica $- \frac{19}{4} + \frac{1}{4} + 9$ .

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Paso 9.1

Combina fracciones.

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Paso 9.1.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 9 + \frac{- 19 + 1}{4}$

Paso 9.1.2

Suma $- 19$ y $1$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 9 + \frac{- 18}{4}$

Paso 9.2

Simplifica cada término.

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Paso 9.2.1

Cancela el factor común de $- 18$ y $4$ .

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Paso 9.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 18$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 9 + \frac{2 (- 9)}{4}$

Paso 9.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 9 + \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 2}$

Paso 9.2.1.2.2

Cancela el factor común.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 9 + \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 2}$

Paso 9.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 9 + \frac{- 9}{2}$

Paso 9.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 9 - \frac{9}{2}$

Paso 9.3

Para escribir $9$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 9 \cdot \frac{2}{2} - \frac{9}{2}$

Paso 9.4

Combina $9$ y $\frac{2}{2}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 3)}^{2} = \frac{9 \cdot 2}{2} - \frac{9}{2}$

Paso 9.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 3)}^{2} = \frac{9 \cdot 2 - 9}{2}$

Paso 9.6

Simplifica el numerador.

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Paso 9.6.1

Multiplica $9$ por $2$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 3)}^{2} = \frac{18 - 9}{2}$

Paso 9.6.2

Resta $9$ de $18$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 3)}^{2} = \frac{9}{2}$

Paso 10

Esta es la forma de un círculo. Usa esta forma para determinar el centro y el radio del círculo.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Paso 11

Haz coincidir los valores de este círculo con los de la ecuación ordinaria. La variable $r$ representa el radio del círculo, $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen y $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen.

$r = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

$h = \frac{1}{2}$

$k = - 3$

Paso 12

El centro del círculo se ubica en $(h, k)$ .

Centro: $(\frac{1}{2}, - 3)$

Paso 13

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de un círculo.

Centro: $(\frac{1}{2}, - 3)$

Radio: $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Paso 14