Precálculo Ejemplos

$9 \log_{2} (\sqrt[3]{x^{2} - 4}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$9 \log_{2} (\sqrt[3]{x^{2} - 2^{2}}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

Paso 1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$9 \log_{2} (\sqrt[3]{(x + 2) (x - 2)}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

Paso 1.3

Simplifica $9 \log_{2} (\sqrt[3]{(x + 2) (x - 2)})$ al mover $9$ dentro del algoritmo.

$\log_{2} ({\sqrt[3]{(x + 2) (x - 2)}}^{9}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

Paso 1.4

Reescribe ${\sqrt[3]{(x + 2) (x - 2)}}^{9}$ como ${((x + 2) (x - 2))}^{3}$ .

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Paso 1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{(x + 2) (x - 2)}$ como ${((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{3}}$ .

$\log_{2} ({({((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{3}})}^{9}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

Paso 1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{2} ({((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{3} \cdot 9}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

Paso 1.4.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $9$ .

$\log_{2} ({((x + 2) (x - 2))}^{\frac{9}{3}}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

Paso 1.4.4

Cancela el factor común de $9$ y $3$ .

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Paso 1.4.4.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$\log_{2} ({((x + 2) (x - 2))}^{\frac{3 \cdot 3}{3}}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

Paso 1.4.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.4.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\log_{2} ({((x + 2) (x - 2))}^{\frac{3 \cdot 3}{3 (1)}}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

Paso 1.4.4.2.2

Cancela el factor común.

$\log_{2} ({((x + 2) (x - 2))}^{\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1}}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

Paso 1.4.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\log_{2} ({((x + 2) (x - 2))}^{\frac{3}{1}}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

Paso 1.4.4.2.4

Divide $3$ por $1$ .

$\log_{2} ({((x + 2) (x - 2))}^{3}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

Paso 1.5

Expande $(x + 2) (x - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{2} ({(x (x - 2) + 2 (x - 2))}^{3}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

Paso 1.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{2} ({(x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2))}^{3}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

Paso 1.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{2} ({(x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2)}^{3}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

Paso 1.6

Combina los términos opuestos en $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

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Paso 1.6.1

Reordena los factores en los términos $x \cdot - 2$ y $2 x$ .

$\log_{2} ({(x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2)}^{3}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

Paso 1.6.2

Suma $- 2 x$ y $2 x$ .

$\log_{2} ({(x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2)}^{3}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

Paso 1.6.3

Suma $x \cdot x$ y $0$ .

$\log_{2} ({(x \cdot x + 2 \cdot - 2)}^{3}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

Paso 1.7

Simplifica cada término.

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Paso 1.7.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\log_{2} ({(x^{2} + 2 \cdot - 2)}^{3}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

Paso 1.7.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\log_{2} ({(x^{2} - 4)}^{3}) - 2 \log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x)$

Paso 1.8

Simplifica $- 2 \log_{2} (x - 2)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\log_{2} ({(x^{2} - 4)}^{3}) - \log_{2} ({(x - 2)}^{2}) + \log_{2} (x)$

Paso 2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{{(x^{2} - 4)}^{3}}{{(x - 2)}^{2}}) + \log_{2} (x)$

Paso 3

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{2} (\frac{{(x^{2} - 4)}^{3}}{{(x - 2)}^{2}} x)$

Paso 4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\log_{2} (\frac{{(x^{2} - 2^{2})}^{3}}{{(x - 2)}^{2}} x)$

Paso 4.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$\log_{2} (\frac{{((x + 2) (x - 2))}^{3}}{{(x - 2)}^{2}} x)$

Paso 4.3

Aplica la regla del producto a $(x + 2) (x - 2)$ .

$\log_{2} (\frac{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}{{(x - 2)}^{2}} x)$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Cancela el factor común de ${(x - 2)}^{3}$ y ${(x - 2)}^{2}$ .

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Paso 5.1.1

Factoriza ${(x - 2)}^{2}$ de ${(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}$ .

$\log_{2} (\frac{{(x - 2)}^{2} ({(x + 2)}^{3} (x - 2))}{{(x - 2)}^{2}} x)$

Paso 5.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.1.2.1

Multiplica por $1$ .

$\log_{2} (\frac{{(x - 2)}^{2} ({(x + 2)}^{3} (x - 2))}{{(x - 2)}^{2} \cdot 1} x)$

Paso 5.1.2.2

Cancela el factor común.

$\log_{2} (\frac{{(x - 2)}^{2} ({(x + 2)}^{3} (x - 2))}{{(x - 2)}^{2} \cdot 1} x)$

Paso 5.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\log_{2} (\frac{{(x + 2)}^{3} (x - 2)}{1} x)$

Paso 5.1.2.4

Divide ${(x + 2)}^{3} (x - 2)$ por $1$ .

$\log_{2} ({(x + 2)}^{3} (x - 2) x)$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{2} (({(x + 2)}^{3} x + {(x + 2)}^{3} \cdot - 2) x)$

Paso 5.3

Mueve $- 2$ a la izquierda de ${(x + 2)}^{3}$ .

$\log_{2} (({(x + 2)}^{3} x - 2 \cdot {(x + 2)}^{3}) x)$

Paso 5.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{2} ({(x + 2)}^{3} x \cdot x - 2 {(x + 2)}^{3} x)$

Paso 6

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.1

Mueve $x$ .

$\log_{2} ({(x + 2)}^{3} (x \cdot x) - 2 {(x + 2)}^{3} x)$

Paso 6.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\log_{2} ({(x + 2)}^{3} x^{2} - 2 {(x + 2)}^{3} x)$

Paso 7

Reordena los factores en $\log_{2} ({(x + 2)}^{3} x^{2} - 2 {(x + 2)}^{3} x)$ .

$\log_{2} (x^{2} {(x + 2)}^{3} - 2 x {(x + 2)}^{3})$