Precálculo Ejemplos

$\log_{3} (x^{2} - 1) + 2 \log_{3} (2 x - 2) - 3 \log_{3} (x - 1)$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Simplifica $2 \log_{3} (2 x - 2)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\log_{3} (x^{2} - 1) + \log_{3} ({(2 x - 2)}^{2}) - 3 \log_{3} (x - 1)$

Paso 1.2

Simplifica $- 3 \log_{3} (x - 1)$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$\log_{3} (x^{2} - 1) + \log_{3} ({(2 x - 2)}^{2}) - \log_{3} ({(x - 1)}^{3})$

Paso 2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} ((x^{2} - 1) {(2 x - 2)}^{2}) - \log_{3} ({(x - 1)}^{3})$

Paso 3

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{(x^{2} - 1) {(2 x - 2)}^{2}}{{(x - 1)}^{3}})$

Paso 4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\log_{3} (\frac{(x^{2} - 1^{2}) {(2 x - 2)}^{2}}{{(x - 1)}^{3}})$

Paso 4.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\log_{3} (\frac{(x + 1) (x - 1) {(2 x - 2)}^{2}}{{(x - 1)}^{3}})$

Paso 4.3

Factoriza $2$ de $2 x - 2$ .

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Paso 4.3.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\log_{3} (\frac{(x + 1) (x - 1) {(2 (x) - 2)}^{2}}{{(x - 1)}^{3}})$

Paso 4.3.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\log_{3} (\frac{(x + 1) (x - 1) {(2 (x) + 2 (- 1))}^{2}}{{(x - 1)}^{3}})$

Paso 4.3.3

Factoriza $2$ de $2 (x) + 2 (- 1)$ .

$\log_{3} (\frac{(x + 1) (x - 1) {(2 (x - 1))}^{2}}{{(x - 1)}^{3}})$

Paso 4.4

Aplica la regla del producto a $2 (x - 1)$ .

$\log_{3} (\frac{(x + 1) (x - 1) \cdot 2^{2} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{3}})$

Paso 4.5

Multiplica $x - 1$ por ${(x - 1)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.5.1

Mueve ${(x - 1)}^{2}$ .

$\log_{3} (\frac{(x + 1) ({(x - 1)}^{2} (x - 1)) \cdot 2^{2}}{{(x - 1)}^{3}})$

Paso 4.5.2

Multiplica ${(x - 1)}^{2}$ por $x - 1$ .

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Paso 4.5.2.1

Eleva $x - 1$ a la potencia de $1$ .

$\log_{3} (\frac{(x + 1) ({(x - 1)}^{2} {(x - 1)}^{1}) \cdot 2^{2}}{{(x - 1)}^{3}})$

Paso 4.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\log_{3} (\frac{(x + 1) {(x - 1)}^{2 + 1} \cdot 2^{2}}{{(x - 1)}^{3}})$

Paso 4.5.3

Suma $2$ y $1$ .

$\log_{3} (\frac{(x + 1) {(x - 1)}^{3} \cdot 2^{2}}{{(x - 1)}^{3}})$

Paso 4.6

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\log_{3} (\frac{(x + 1) {(x - 1)}^{3} \cdot 4}{{(x - 1)}^{3}})$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Cancela el factor común de ${(x - 1)}^{3}$ .

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Paso 5.1.1

Cancela el factor común.

$\log_{3} (\frac{(x + 1) {(x - 1)}^{3} \cdot 4}{{(x - 1)}^{3}})$

Paso 5.1.2

Divide $(x + 1) \cdot 4$ por $1$ .

$\log_{3} ((x + 1) \cdot 4)$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{3} (x \cdot 4 + 1 \cdot 4)$

Paso 5.3

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.1

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$\log_{3} (4 \cdot x + 1 \cdot 4)$

Paso 5.3.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$\log_{3} (4 x + 4)$