Precálculo Ejemplos

$\log_{6} (x + 4) + \log_{6} (x + 1) = 1$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{6} ((x + 4) (x + 1)) = 1$

Paso 1.2

Expande $(x + 4) (x + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{6} (x (x + 1) + 4 (x + 1)) = 1$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{6} (x \cdot x + x \cdot 1 + 4 (x + 1)) = 1$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{6} (x \cdot x + x \cdot 1 + 4 x + 4 \cdot 1) = 1$

Paso 1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\log_{6} (x^{2} + x \cdot 1 + 4 x + 4 \cdot 1) = 1$

Paso 1.3.1.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\log_{6} (x^{2} + x + 4 x + 4 \cdot 1) = 1$

Paso 1.3.1.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$\log_{6} (x^{2} + x + 4 x + 4) = 1$

Paso 1.3.2

Suma $x$ y $4 x$ .

$\log_{6} (x^{2} + 5 x + 4) = 1$

Paso 2

Reescribe $\log_{6} (x^{2} + 5 x + 4) = 1$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$6^{1} = x^{2} + 5 x + 4$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $x^{2} + 5 x + 4 = 6^{1}$ .

$x^{2} + 5 x + 4 = 6$

Paso 3.2

Mueve todos los términos al lado izquierdo de la ecuación y simplifica.

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Paso 3.2.1

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + 5 x + 4 - 6 = 0$

Paso 3.2.2

Resta $6$ de $4$ .

$x^{2} + 5 x - 2 = 0$

Paso 3.3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.4

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 5$ y $c = - 2$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5

Simplifica.

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Paso 3.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.1.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

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Paso 3.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.1.3

Suma $25$ y $8$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{33}}{2}$

Paso 3.6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 3.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.6.1.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

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Paso 3.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.1.3

Suma $25$ y $8$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{33}}{2}$

Paso 3.6.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 5 + \sqrt{33}}{2}$

Paso 3.6.4

Reescribe $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 + \sqrt{33}}{2}$

Paso 3.6.5

Factoriza $- 1$ de $\sqrt{33}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - 1 (- \sqrt{33})}{2}$

Paso 3.6.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (5) - 1 (- \sqrt{33})$ .

$x = \frac{- 1 (5 - \sqrt{33})}{2}$

Paso 3.6.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$

Paso 3.7

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 3.7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.7.1.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.7.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

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Paso 3.7.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.7.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.7.1.3

Suma $25$ y $8$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.7.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{33}}{2}$

Paso 3.7.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 5 - \sqrt{33}}{2}$

Paso 3.7.4

Reescribe $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - \sqrt{33}}{2}$

Paso 3.7.5

Factoriza $- 1$ de $- \sqrt{33}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - (\sqrt{33})}{2}$

Paso 3.7.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (5) - (\sqrt{33})$ .

$x = \frac{- 1 (5 + \sqrt{33})}{2}$

Paso 3.7.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$

Paso 3.8

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{5 - \sqrt{33}}{2}, - \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$

Paso 4

Excluye las soluciones que no hagan que $\log_{6} (x + 4) + \log_{6} (x + 1) = 1$ sea verdadera.

$x = - \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = - \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$

Forma decimal:

$x = 0.37228132 \dots$