Precálculo Ejemplos

$\log_{5} (5^{\frac{3}{4}}) - \log_{5} (5^{2})$

Paso 1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{5} (\frac{5^{\frac{3}{4}}}{5^{2}})$

Paso 2

Mueve $5^{\frac{3}{4}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\log_{5} (\frac{1}{5^{2} \cdot 5^{- \frac{3}{4}}})$

Paso 3

Multiplica $5^{2}$ por $5^{- \frac{3}{4}}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\log_{5} (\frac{1}{5^{2 - \frac{3}{4}}})$

Paso 3.2

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\log_{5} (\frac{1}{5^{2 \cdot \frac{4}{4} - \frac{3}{4}}})$

Paso 3.3

Combina $2$ y $\frac{4}{4}$ .

$\log_{5} (\frac{1}{5^{\frac{2 \cdot 4}{4} - \frac{3}{4}}})$

Paso 3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\log_{5} (\frac{1}{5^{\frac{2 \cdot 4 - 3}{4}}})$

Paso 3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.1

Multiplica $2$ por $4$ .

$\log_{5} (\frac{1}{5^{\frac{8 - 3}{4}}})$

Paso 3.5.2

Resta $3$ de $8$ .

$\log_{5} (\frac{1}{5^{\frac{5}{4}}})$

Paso 4

Mueve $5^{\frac{5}{4}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\log_{5} (5^{- \frac{5}{4}})$

Paso 5

Expande $\log_{5} (5^{- \frac{5}{4}})$ ; para ello, mueve $- \frac{5}{4}$ fuera del logaritmo.

$- \frac{5}{4} \log_{5} (5)$

Paso 6

El logaritmo en base $5$ de $5$ es $1$ .

$- \frac{5}{4} \cdot 1$

Paso 7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{5}{4}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{5}{4}$

Forma decimal:

$- 1.25$

Forma de número mixto:

$- 1 \frac{1}{4}$