Precálculo Ejemplos

$2 \log_{2} (x) + \frac{1}{3} \cdot (\log (2) (27 x - 27)) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Simplifica $2 \log_{2} (x)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\log_{2} (x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot (\log (2) (27 x - 27)) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Paso 1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{2} (x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot (\log (2) (27 x) + \log (2) \cdot - 27) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Paso 1.3

Simplifica $27 \log (2)$ al mover $27$ dentro del algoritmo.

$\log_{2} (x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot (\log (2^{27}) x + \log (2) \cdot - 27) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Paso 1.4

Multiplica $\log (2) \cdot - 27$ .

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Paso 1.4.1

Reordena $\log (2)$ y $- 27$ .

$\log_{2} (x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot (\log (2^{27}) x - 27 \cdot \log (2)) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Paso 1.4.2

Simplifica $- 27 \cdot \log (2)$ al mover $27$ dentro del algoritmo.

$\log_{2} (x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot (\log (2^{27}) x - \log (2^{27})) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Paso 1.5

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.1

Eleva $2$ a la potencia de $27$ .

$\log_{2} (x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot (\log (134217728) x - \log (2^{27})) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Paso 1.5.2

Eleva $2$ a la potencia de $27$ .

$\log_{2} (x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot (\log (134217728) x - \log (134217728)) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Paso 1.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{2} (x^{2}) + \frac{1}{3} (\log (134217728) x) + \frac{1}{3} (- \log (134217728)) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Paso 1.7

Multiplica $\frac{1}{3} (\log (134217728) x)$ .

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Paso 1.7.1

Reordena $\log (134217728)$ y $\frac{1}{3}$ .

$\log_{2} (x^{2}) + \frac{1}{3} \log (134217728) x + \frac{1}{3} (- \log (134217728)) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Paso 1.7.2

Simplifica $\frac{1}{3} \log (134217728)$ al mover $\frac{1}{3}$ dentro del algoritmo.

$\log_{2} (x^{2}) + \log (134217728^{\frac{1}{3}}) x + \frac{1}{3} (- \log (134217728)) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Paso 1.8

Simplifica $\frac{1}{3} \log (134217728)$ al mover $\frac{1}{3}$ dentro del algoritmo.

$\log_{2} (x^{2}) + \log (134217728^{\frac{1}{3}}) x - \log (134217728^{\frac{1}{3}}) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Paso 1.9

Simplifica cada término.

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Paso 1.9.1

Reescribe $134217728$ como $512^{3}$ .

$\log_{2} (x^{2}) + \log ({(512^{3})}^{\frac{1}{3}}) x - \log (134217728^{\frac{1}{3}}) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Paso 1.9.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{2} (x^{2}) + \log (512^{3 (\frac{1}{3})}) x - \log (134217728^{\frac{1}{3}}) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Paso 1.9.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.9.3.1

Cancela el factor común.

$\log_{2} (x^{2}) + \log (512^{3 (\frac{1}{3})}) x - \log (134217728^{\frac{1}{3}}) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Paso 1.9.3.2

Reescribe la expresión.

$\log_{2} (x^{2}) + \log (512^{1}) x - \log (134217728^{\frac{1}{3}}) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Paso 1.9.4

Evalúa el exponente.

$\log_{2} (x^{2}) + \log (512) x - \log (134217728^{\frac{1}{3}}) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Paso 1.9.5

Reescribe $134217728$ como $512^{3}$ .

$\log_{2} (x^{2}) + \log (512) x - \log ({(512^{3})}^{\frac{1}{3}}) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Paso 1.9.6

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{2} (x^{2}) + \log (512) x - \log (512^{3 (\frac{1}{3})}) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Paso 1.9.7

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.9.7.1

Cancela el factor común.

$\log_{2} (x^{2}) + \log (512) x - \log (512^{3 (\frac{1}{3})}) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Paso 1.9.7.2

Reescribe la expresión.

$\log_{2} (x^{2}) + \log (512) x - \log (512^{1}) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Paso 1.9.8

Evalúa el exponente.

$\log_{2} (x^{2}) + \log (512) x - \log (512) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Paso 1.10

Simplifica $- 2 \log_{2} (x^{3} - x)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\log_{2} (x^{2}) + \log (512) x - \log (512) - \log_{2} ({(x^{3} - x)}^{2})$

Paso 2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x^{3} - x)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Paso 3

Simplifica cada término.

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Paso 3.1

Simplifica el denominador.

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Paso 3.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3} - x$ .

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Paso 3.1.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x \cdot x^{2} - x)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Paso 3.1.1.2

Factoriza $x$ de $- x$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x \cdot x^{2} + x \cdot - 1)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Paso 3.1.1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{2} + x \cdot - 1$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x (x^{2} - 1))}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Paso 3.1.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x (x^{2} - 1^{2}))}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Paso 3.1.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x (x + 1) (x - 1))}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Paso 3.1.4

Aplica la regla del producto a $x (x + 1) (x - 1)$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x (x + 1))}^{2} {(x - 1)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Paso 3.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x \cdot x + x \cdot 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Paso 3.1.6

Multiplica $x$ por $x$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x^{2} + x \cdot 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Paso 3.1.7

Multiplica $x$ por $1$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x^{2} + x)}^{2} {(x - 1)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Paso 3.1.8

Factoriza $x$ de $x^{2} + x$ .

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Paso 3.1.8.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x \cdot x + x)}^{2} {(x - 1)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Paso 3.1.8.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x \cdot x + x^{1})}^{2} {(x - 1)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Paso 3.1.8.3

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x \cdot x + x \cdot 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Paso 3.1.8.4

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x (x + 1))}^{2} {(x - 1)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Paso 3.1.9

Aplica la regla del producto a $x (x + 1)$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{x^{2} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común.

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{x^{2} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Paso 3.2.2

Reescribe la expresión.

$\log_{2} (\frac{1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Paso 4

Reordena los factores en $\log_{2} (\frac{1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$ .

$\log_{2} (\frac{1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}) + x \log (512) - \log (512)$