Precálculo Ejemplos

$8 \log_{5} (\sqrt{7 x - 2}) - \log_{5} (\frac{5}{x}) + \log_{5} (5)$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Simplifica $8 \log_{5} (\sqrt{7 x - 2})$ al mover $8$ dentro del algoritmo.

$\log_{5} ({\sqrt{7 x - 2}}^{8}) - \log_{5} (\frac{5}{x}) + \log_{5} (5)$

Paso 1.2

Reescribe ${\sqrt{7 x - 2}}^{8}$ como ${(7 x - 2)}^{4}$ .

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Paso 1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{7 x - 2}$ como ${(7 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\log_{5} ({({(7 x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{8}) - \log_{5} (\frac{5}{x}) + \log_{5} (5)$

Paso 1.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{5} ({(7 x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 8}) - \log_{5} (\frac{5}{x}) + \log_{5} (5)$

Paso 1.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $8$ .

$\log_{5} ({(7 x - 2)}^{\frac{8}{2}}) - \log_{5} (\frac{5}{x}) + \log_{5} (5)$

Paso 1.2.4

Cancela el factor común de $8$ y $2$ .

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Paso 1.2.4.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$\log_{5} ({(7 x - 2)}^{\frac{2 \cdot 4}{2}}) - \log_{5} (\frac{5}{x}) + \log_{5} (5)$

Paso 1.2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\log_{5} ({(7 x - 2)}^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}}) - \log_{5} (\frac{5}{x}) + \log_{5} (5)$

Paso 1.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$\log_{5} ({(7 x - 2)}^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}}) - \log_{5} (\frac{5}{x}) + \log_{5} (5)$

Paso 1.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\log_{5} ({(7 x - 2)}^{\frac{4}{1}}) - \log_{5} (\frac{5}{x}) + \log_{5} (5)$

Paso 1.2.4.2.4

Divide $4$ por $1$ .

$\log_{5} ({(7 x - 2)}^{4}) - \log_{5} (\frac{5}{x}) + \log_{5} (5)$

Paso 1.3

El logaritmo en base $5$ de $5$ es $1$ .

$\log_{5} ({(7 x - 2)}^{4}) - \log_{5} (\frac{5}{x}) + 1$

Paso 2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{5} (\frac{{(7 x - 2)}^{4}}{\frac{5}{x}}) + 1$

Paso 3

Simplifica cada término.

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Paso 3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\log_{5} ({(7 x - 2)}^{4} \frac{x}{5}) + 1$

Paso 3.2

Combina ${(7 x - 2)}^{4}$ y $\frac{x}{5}$ .

$\log_{5} (\frac{{(7 x - 2)}^{4} x}{5}) + 1$

Paso 3.3

Reescribe $\frac{{(7 x - 2)}^{4} x}{5}$ como ${(7 x - 2)}^{4} x \cdot 5^{- 1}$ .

$\log_{5} ({(7 x - 2)}^{4} x \cdot 5^{- 1}) + 1$

Paso 3.4

Reescribe $\log_{5} ({(7 x - 2)}^{4} x \cdot 5^{- 1})$ como $\log_{5} ({(7 x - 2)}^{4} x) + \log_{5} (5^{- 1})$ .

$\log_{5} ({(7 x - 2)}^{4} x) + \log_{5} (5^{- 1}) + 1$

Paso 3.5

Usa las reglas de logaritmos para mover $- 1$ fuera del exponente.

$\log_{5} ({(7 x - 2)}^{4} x) - \log_{5} (5) + 1$

Paso 3.6

El logaritmo en base $5$ de $5$ es $1$ .

$\log_{5} ({(7 x - 2)}^{4} x) - 1 \cdot 1 + 1$

Paso 3.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\log_{5} ({(7 x - 2)}^{4} x) - 1 + 1$

Paso 4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$\log_{5} ({(7 x - 2)}^{4} x) + 0$

Paso 4.2

Suma $\log_{5} ({(7 x - 2)}^{4} x)$ y $0$ .

$\log_{5} ({(7 x - 2)}^{4} x)$

Paso 4.3

Reordena los factores en $\log_{5} ({(7 x - 2)}^{4} x)$ .

$\log_{5} (x {(7 x - 2)}^{4})$