Precálculo Ejemplos

$6 \log_{2} (\frac{2}{3}) + 2 \log_{2} (\frac{1}{6}) - 4 \log_{2} (\frac{2}{9})$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Simplifica $6 \log_{2} (\frac{2}{3})$ al mover $6$ dentro del algoritmo.

$\log_{2} ({(\frac{2}{3})}^{6}) + 2 \log_{2} (\frac{1}{6}) - 4 \log_{2} (\frac{2}{9})$

Paso 1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{2}{3}$ .

$\log_{2} (\frac{2^{6}}{3^{6}}) + 2 \log_{2} (\frac{1}{6}) - 4 \log_{2} (\frac{2}{9})$

Paso 1.3

Eleva $2$ a la potencia de $6$ .

$\log_{2} (\frac{64}{3^{6}}) + 2 \log_{2} (\frac{1}{6}) - 4 \log_{2} (\frac{2}{9})$

Paso 1.4

Eleva $3$ a la potencia de $6$ .

$\log_{2} (\frac{64}{729}) + 2 \log_{2} (\frac{1}{6}) - 4 \log_{2} (\frac{2}{9})$

Paso 1.5

Simplifica $2 \log_{2} (\frac{1}{6})$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\log_{2} (\frac{64}{729}) + \log_{2} ({(\frac{1}{6})}^{2}) - 4 \log_{2} (\frac{2}{9})$

Paso 1.6

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{6}$ .

$\log_{2} (\frac{64}{729}) + \log_{2} (\frac{1^{2}}{6^{2}}) - 4 \log_{2} (\frac{2}{9})$

Paso 1.7

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\log_{2} (\frac{64}{729}) + \log_{2} (\frac{1}{6^{2}}) - 4 \log_{2} (\frac{2}{9})$

Paso 1.8

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$\log_{2} (\frac{64}{729}) + \log_{2} (\frac{1}{36}) - 4 \log_{2} (\frac{2}{9})$

Paso 1.9

Simplifica $- 4 \log_{2} (\frac{2}{9})$ al mover $4$ dentro del algoritmo.

$\log_{2} (\frac{64}{729}) + \log_{2} (\frac{1}{36}) - \log_{2} ({(\frac{2}{9})}^{4})$

Paso 1.10

Aplica la regla del producto a $\frac{2}{9}$ .

$\log_{2} (\frac{64}{729}) + \log_{2} (\frac{1}{36}) - \log_{2} (\frac{2^{4}}{9^{4}})$

Paso 1.11

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$\log_{2} (\frac{64}{729}) + \log_{2} (\frac{1}{36}) - \log_{2} (\frac{16}{9^{4}})$

Paso 1.12

Eleva $9$ a la potencia de $4$ .

$\log_{2} (\frac{64}{729}) + \log_{2} (\frac{1}{36}) - \log_{2} (\frac{16}{6561})$

Paso 2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{2} (\frac{64}{729} \cdot \frac{1}{36}) - \log_{2} (\frac{16}{6561})$

Paso 3

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{\frac{64}{729} \cdot \frac{1}{36}}{\frac{16}{6561}})$

Paso 4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\log_{2} (\frac{64}{729} \cdot \frac{1}{36} \frac{6561}{16})$

Paso 5

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.1

Factoriza $4$ de $64$ .

$\log_{2} (\frac{4 (16)}{729} \cdot \frac{1}{36} \frac{6561}{16})$

Paso 5.2

Factoriza $4$ de $36$ .

$\log_{2} (\frac{4 \cdot 16}{729} \cdot \frac{1}{4 \cdot 9} \frac{6561}{16})$

Paso 5.3

Cancela el factor común.

$\log_{2} (\frac{4 \cdot 16}{729} \cdot \frac{1}{4 \cdot 9} \frac{6561}{16})$

Paso 5.4

Reescribe la expresión.

$\log_{2} (\frac{16}{729} \cdot \frac{1}{9} \frac{6561}{16})$

Paso 6

Multiplica $\frac{16}{729}$ por $\frac{1}{9}$ .

$\log_{2} (\frac{16}{729 \cdot 9} \cdot \frac{6561}{16})$

Paso 7

Multiplica $729$ por $9$ .

$\log_{2} (\frac{16}{6561} \cdot \frac{6561}{16})$

Paso 8

Cancela el factor común de $16$ .

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Paso 8.1

Cancela el factor común.

$\log_{2} (\frac{16}{6561} \cdot \frac{6561}{16})$

Paso 8.2

Reescribe la expresión.

$\log_{2} (\frac{1}{6561} \cdot 6561)$

Paso 9

Cancela el factor común de $6561$ .

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Paso 9.1

Cancela el factor común.

$\log_{2} (\frac{1}{6561} \cdot 6561)$

Paso 9.2

Reescribe la expresión.

$\log_{2} (1)$

Paso 10

El logaritmo en base $2$ de $1$ es $0$ .

$0$