Precálculo Ejemplos

$\log (\sqrt{\frac{x^{2} + 7}{(x^{4} + 8) {(x^{2} - 16)}^{5}}})$

Paso 1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\log (\sqrt{\frac{x^{2} + 7}{(x^{4} + 8) {(x^{2} - 4^{2})}^{5}}})$

Paso 2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 4$ .

$\log (\sqrt{\frac{x^{2} + 7}{(x^{4} + 8) {((x + 4) (x - 4))}^{5}}})$

Paso 3

Aplica la regla del producto a $(x + 4) (x - 4)$ .

$\log (\sqrt{\frac{x^{2} + 7}{(x^{4} + 8) {(x + 4)}^{5} {(x - 4)}^{5}}})$

Paso 4

Reescribe $\frac{x^{2} + 7}{(x^{4} + 8) {(x + 4)}^{5} {(x - 4)}^{5}}$ como ${(\frac{1}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}})}^{2} \frac{x^{2} + 7}{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}$ .

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Paso 4.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $x^{2} + 7$ .

$\log (\sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} + 7)}{(x^{4} + 8) {(x + 4)}^{5} {(x - 4)}^{5}}})$

Paso 4.2

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} (x^{2} + 7)}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2} ((x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4))}$ .

$\log (\sqrt{{(\frac{1}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}})}^{2} \frac{x^{2} + 7}{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}})$

Paso 5

Retira los términos de abajo del radical.

$\log (\frac{1}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}} \sqrt{\frac{x^{2} + 7}{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}})$

Paso 6

Reescribe $\sqrt{\frac{x^{2} + 7}{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}$ como $\frac{\sqrt{x^{2} + 7}}{\sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}$ .

$\log (\frac{1}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 7}}{\sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}})$

Paso 7

Combinar.

$\log (\frac{1 \sqrt{x^{2} + 7}}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}})$

Paso 8

Multiplica $\sqrt{x^{2} + 7}$ por $1$ .

$\log (\frac{\sqrt{x^{2} + 7}}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}})$

Paso 9

Multiplica $\frac{\sqrt{x^{2} + 7}}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}$ por $\frac{\sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}{\sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}$ .

$\log (\frac{\sqrt{x^{2} + 7}}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}} \cdot \frac{\sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}{\sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}})$

Paso 10

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 10.1

Multiplica $\frac{\sqrt{x^{2} + 7}}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}$ por $\frac{\sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}{\sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}$ .

$\log (\frac{\sqrt{x^{2} + 7} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}})$

Paso 10.2

Mueve $\sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}$ .

$\log (\frac{\sqrt{x^{2} + 7} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} (\sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)})})$

Paso 10.3

Eleva $\sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}$ a la potencia de $1$ .

$\log (\frac{\sqrt{x^{2} + 7} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} ({\sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}^{1} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)})})$

Paso 10.4

Eleva $\sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}$ a la potencia de $1$ .

$\log (\frac{\sqrt{x^{2} + 7} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} ({\sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}^{1} {\sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}^{1})})$

Paso 10.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\log (\frac{\sqrt{x^{2} + 7} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} {\sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}^{1 + 1}})$

Paso 10.6

Suma $1$ y $1$ .

$\log (\frac{\sqrt{x^{2} + 7} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} {\sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}^{2}})$

Paso 10.7

Reescribe ${\sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}^{2}$ como $(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)$ .

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Paso 10.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}$ como ${((x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\log (\frac{\sqrt{x^{2} + 7} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} {({((x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4))}^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Paso 10.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log (\frac{\sqrt{x^{2} + 7} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} {((x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Paso 10.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\log (\frac{\sqrt{x^{2} + 7} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} {((x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4))}^{\frac{2}{2}}})$

Paso 10.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.7.4.1

Cancela el factor común.

$\log (\frac{\sqrt{x^{2} + 7} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} {((x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4))}^{\frac{2}{2}}})$

Paso 10.7.4.2

Reescribe la expresión.

$\log (\frac{\sqrt{x^{2} + 7} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} {((x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4))}^{1}})$

Paso 10.7.5

Simplifica.

$\log (\frac{\sqrt{x^{2} + 7} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} ((x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4))})$

Paso 11

Multiplica ${(x + 4)}^{2}$ por $x + 4$ sumando los exponentes.

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Paso 11.1

Mueve $x + 4$ .

$\log (\frac{\sqrt{x^{2} + 7} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}{(x + 4) {(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} ((x^{4} + 8) (x - 4))})$

Paso 11.2

Multiplica $x + 4$ por ${(x + 4)}^{2}$ .

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Paso 11.2.1

Eleva $x + 4$ a la potencia de $1$ .

$\log (\frac{\sqrt{x^{2} + 7} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}{{(x + 4)}^{1} {(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} ((x^{4} + 8) (x - 4))})$

Paso 11.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\log (\frac{\sqrt{x^{2} + 7} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}{{(x + 4)}^{1 + 2} {(x - 4)}^{2} ((x^{4} + 8) (x - 4))})$

Paso 11.3

Suma $1$ y $2$ .

$\log (\frac{\sqrt{x^{2} + 7} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{2} ((x^{4} + 8) (x - 4))})$

Paso 12

Multiplica ${(x - 4)}^{2}$ por $x - 4$ sumando los exponentes.

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Paso 12.1

Mueve $x - 4$ .

$\log (\frac{\sqrt{x^{2} + 7} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}{{(x + 4)}^{3} ((x - 4) {(x - 4)}^{2}) (x^{4} + 8)})$

Paso 12.2

Multiplica $x - 4$ por ${(x - 4)}^{2}$ .

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Paso 12.2.1

Eleva $x - 4$ a la potencia de $1$ .

$\log (\frac{\sqrt{x^{2} + 7} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}{{(x + 4)}^{3} ({(x - 4)}^{1} {(x - 4)}^{2}) (x^{4} + 8)})$

Paso 12.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\log (\frac{\sqrt{x^{2} + 7} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{1 + 2} (x^{4} + 8)})$

Paso 12.3

Suma $1$ y $2$ .

$\log (\frac{\sqrt{x^{2} + 7} \sqrt{(x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3} (x^{4} + 8)})$

Paso 13

Combina con la regla del producto para radicales.

$\log (\frac{\sqrt{(x^{2} + 7) (x^{4} + 8) (x + 4) (x - 4)}}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3} (x^{4} + 8)})$