Precálculo Ejemplos

$\ln (x) - 4 (\ln (x + 2) + \ln (x - 2))$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x) - 4 \ln ((x + 2) (x - 2))$

Paso 1.2

Expande $(x + 2) (x - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (x) - 4 \ln (x (x - 2) + 2 (x - 2))$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (x) - 4 \ln (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2))$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (x) - 4 \ln (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2)$

Paso 1.3

Combina los términos opuestos en $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

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Paso 1.3.1

Reordena los factores en los términos $x \cdot - 2$ y $2 x$ .

$\ln (x) - 4 \ln (x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2)$

Paso 1.3.2

Suma $- 2 x$ y $2 x$ .

$\ln (x) - 4 \ln (x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2)$

Paso 1.3.3

Suma $x \cdot x$ y $0$ .

$\ln (x) - 4 \ln (x \cdot x + 2 \cdot - 2)$

Paso 1.4

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\ln (x) - 4 \ln (x^{2} + 2 \cdot - 2)$

Paso 1.4.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\ln (x) - 4 \ln (x^{2} - 4)$

Paso 1.5

Simplifica $- 4 \ln (x^{2} - 4)$ al mover $4$ dentro del algoritmo.

$\ln (x) - \ln ({(x^{2} - 4)}^{4})$

Paso 2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x}{{(x^{2} - 4)}^{4}})$

Paso 3

Simplifica el denominador.

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Paso 3.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\ln (\frac{x}{{(x^{2} - 2^{2})}^{4}})$

Paso 3.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$\ln (\frac{x}{{((x + 2) (x - 2))}^{4}})$

Paso 3.3

Aplica la regla del producto a $(x + 2) (x - 2)$ .

$\ln (\frac{x}{{(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}})$