Precálculo Ejemplos

$\log (x^{3} y^{2}) - 2 \log (x \sqrt[3]{y}) - 3 \log (\frac{y}{x})$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Simplifica $- 2 \log (x \sqrt[3]{y})$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\log (x^{3} y^{2}) - \log ({(x \sqrt[3]{y})}^{2}) - 3 \log (\frac{y}{x})$

Paso 1.2

Aplica la regla del producto a $x \sqrt[3]{y}$ .

$\log (x^{3} y^{2}) - \log (x^{2} {\sqrt[3]{y}}^{2}) - 3 \log (\frac{y}{x})$

Paso 1.3

Reescribe ${\sqrt[3]{y}}^{2}$ como $\sqrt[3]{y^{2}}$ .

$\log (x^{3} y^{2}) - \log (x^{2} \sqrt[3]{y^{2}}) - 3 \log (\frac{y}{x})$

Paso 1.4

Simplifica $- 3 \log (\frac{y}{x})$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$\log (x^{3} y^{2}) - \log (x^{2} \sqrt[3]{y^{2}}) - \log ({(\frac{y}{x})}^{3})$

Paso 1.5

Aplica la regla del producto a $\frac{y}{x}$ .

$\log (x^{3} y^{2}) - \log (x^{2} \sqrt[3]{y^{2}}) - \log (\frac{y^{3}}{x^{3}})$

Paso 2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x^{3} y^{2}}{x^{2} \sqrt[3]{y^{2}}}) - \log (\frac{y^{3}}{x^{3}})$

Paso 3

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{\frac{x^{3} y^{2}}{x^{2} \sqrt[3]{y^{2}}}}{\frac{y^{3}}{x^{3}}})$

Paso 4

Cancela el factor común de $x^{3}$ y $x^{2}$ .

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Paso 4.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3} y^{2}$ .

$\log (\frac{\frac{x^{2} (x y^{2})}{x^{2} \sqrt[3]{y^{2}}}}{\frac{y^{3}}{x^{3}}})$

Paso 4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} \sqrt[3]{y^{2}}$ .

$\log (\frac{\frac{x^{2} (x y^{2})}{x^{2} (\sqrt[3]{y^{2}})}}{\frac{y^{3}}{x^{3}}})$

Paso 4.2.2

Cancela el factor común.

$\log (\frac{\frac{x^{2} (x y^{2})}{x^{2} \sqrt[3]{y^{2}}}}{\frac{y^{3}}{x^{3}}})$

Paso 4.2.3

Reescribe la expresión.

$\log (\frac{\frac{x y^{2}}{\sqrt[3]{y^{2}}}}{\frac{y^{3}}{x^{3}}})$

Paso 5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\log (\frac{x y^{2}}{\sqrt[3]{y^{2}}} \cdot \frac{x^{3}}{y^{3}})$

Paso 6

Combinar.

$\log (\frac{x y^{2} x^{3}}{\sqrt[3]{y^{2}} y^{3}})$

Paso 7

Multiplica $x$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.1

Mueve $x^{3}$ .

$\log (\frac{x^{3} x y^{2}}{\sqrt[3]{y^{2}} y^{3}})$

Paso 7.2

Multiplica $x^{3}$ por $x$ .

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Paso 7.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\log (\frac{x^{3} x^{1} y^{2}}{\sqrt[3]{y^{2}} y^{3}})$

Paso 7.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\log (\frac{x^{3 + 1} y^{2}}{\sqrt[3]{y^{2}} y^{3}})$

Paso 7.3

Suma $3$ y $1$ .

$\log (\frac{x^{4} y^{2}}{\sqrt[3]{y^{2}} y^{3}})$

Paso 8

Cancela el factor común de $y^{2}$ y $y^{3}$ .

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Paso 8.1

Factoriza $y^{2}$ de $x^{4} y^{2}$ .

$\log (\frac{y^{2} x^{4}}{\sqrt[3]{y^{2}} y^{3}})$

Paso 8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.1

Factoriza $y^{2}$ de $\sqrt[3]{y^{2}} y^{3}$ .

$\log (\frac{y^{2} x^{4}}{y^{2} (\sqrt[3]{y^{2}} y)})$

Paso 8.2.2

Cancela el factor común.

$\log (\frac{y^{2} x^{4}}{y^{2} (\sqrt[3]{y^{2}} y)})$

Paso 8.2.3

Reescribe la expresión.

$\log (\frac{x^{4}}{\sqrt[3]{y^{2}} y})$

Paso 9

Multiplica $\frac{x^{4}}{\sqrt[3]{y^{2}} y}$ por $\frac{{\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}$ .

$\log (\frac{x^{4}}{\sqrt[3]{y^{2}} y} \cdot \frac{{\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}})$

Paso 10

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 10.1

Multiplica $\frac{x^{4}}{\sqrt[3]{y^{2}} y}$ por $\frac{{\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}$ .

$\log (\frac{x^{4} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{\sqrt[3]{y^{2}} y {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}})$

Paso 10.2

Mueve $\sqrt[3]{y^{2}}$ .

$\log (\frac{x^{4} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y (\sqrt[3]{y^{2}} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2})})$

Paso 10.3

Eleva $\sqrt[3]{y^{2}}$ a la potencia de $1$ .

$\log (\frac{x^{4} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y ({\sqrt[3]{y^{2}}}^{1} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2})})$

Paso 10.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\log (\frac{x^{4} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y {\sqrt[3]{y^{2}}}^{1 + 2}})$

Paso 10.5

Suma $1$ y $2$ .

$\log (\frac{x^{4} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y {\sqrt[3]{y^{2}}}^{3}})$

Paso 10.6

Reescribe ${\sqrt[3]{y^{2}}}^{3}$ como $y^{2}$ .

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Paso 10.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{y^{2}}$ como $y^{\frac{2}{3}}$ .

$\log (\frac{x^{4} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y {(y^{\frac{2}{3}})}^{3}})$

Paso 10.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log (\frac{x^{4} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y \cdot y^{\frac{2}{3} \cdot 3}})$

Paso 10.6.3

Combina $\frac{2}{3}$ y $3$ .

$\log (\frac{x^{4} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y \cdot y^{\frac{2 \cdot 3}{3}}})$

Paso 10.6.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$\log (\frac{x^{4} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y \cdot y^{\frac{6}{3}}})$

Paso 10.6.5

Cancela el factor común de $6$ y $3$ .

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Paso 10.6.5.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$\log (\frac{x^{4} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y \cdot y^{\frac{3 \cdot 2}{3}}})$

Paso 10.6.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.6.5.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\log (\frac{x^{4} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y \cdot y^{\frac{3 \cdot 2}{3 (1)}}})$

Paso 10.6.5.2.2

Cancela el factor común.

$\log (\frac{x^{4} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y \cdot y^{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}}})$

Paso 10.6.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\log (\frac{x^{4} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y \cdot y^{\frac{2}{1}}})$

Paso 10.6.5.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$\log (\frac{x^{4} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y \cdot y^{2}})$

Paso 11

Multiplica $y$ por $y^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 11.1

Multiplica $y$ por $y^{2}$ .

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Paso 11.1.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\log (\frac{x^{4} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y^{1} y^{2}})$

Paso 11.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\log (\frac{x^{4} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y^{1 + 2}})$

Paso 11.2

Suma $1$ y $2$ .

$\log (\frac{x^{4} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y^{3}})$

Paso 12

Simplifica el numerador.

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Paso 12.1

Reescribe ${\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}$ como $\sqrt[3]{{(y^{2})}^{2}}$ .

$\log (\frac{x^{4} \sqrt[3]{{(y^{2})}^{2}}}{y^{3}})$

Paso 12.2

Multiplica los exponentes en ${(y^{2})}^{2}$ .

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Paso 12.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log (\frac{x^{4} \sqrt[3]{y^{2 \cdot 2}}}{y^{3}})$

Paso 12.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\log (\frac{x^{4} \sqrt[3]{y^{4}}}{y^{3}})$

Paso 12.3

Factoriza $y^{3}$ .

$\log (\frac{x^{4} \sqrt[3]{y^{3} y}}{y^{3}})$

Paso 12.4

Retira los términos de abajo del radical.

$\log (\frac{x^{4} y \sqrt[3]{y}}{y^{3}})$

Paso 13

Cancela el factor común de $y$ y $y^{3}$ .

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Paso 13.1

Factoriza $y$ de $x^{4} y \sqrt[3]{y}$ .

$\log (\frac{y (x^{4} \sqrt[3]{y})}{y^{3}})$

Paso 13.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 13.2.1

Factoriza $y$ de $y^{3}$ .

$\log (\frac{y (x^{4} \sqrt[3]{y})}{y \cdot y^{2}})$

Paso 13.2.2

Cancela el factor común.

$\log (\frac{y (x^{4} \sqrt[3]{y})}{y \cdot y^{2}})$

Paso 13.2.3

Reescribe la expresión.

$\log (\frac{x^{4} \sqrt[3]{y}}{y^{2}})$