Precálculo Ejemplos

$\ln (\frac{1}{e^{4}}) + \ln (4 e^{2})$

Paso 1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (\frac{1}{e^{4}} (4 e^{2}))$

Paso 2

Cancela el factor común de $e^{2}$ .

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Paso 2.1

Factoriza $e^{2}$ de $e^{4}$ .

$\ln (\frac{1}{e^{2} e^{2}} (4 e^{2}))$

Paso 2.2

Factoriza $e^{2}$ de $4 e^{2}$ .

$\ln (\frac{1}{e^{2} e^{2}} (e^{2} \cdot 4))$

Paso 2.3

Cancela el factor común.

$\ln (\frac{1}{e^{2} e^{2}} (e^{2} \cdot 4))$

Paso 2.4

Reescribe la expresión.

$\ln (\frac{1}{e^{2}} \cdot 4)$

Paso 3

Combina $\frac{1}{e^{2}}$ y $4$ .

$\ln (\frac{4}{e^{2}})$

Paso 4

Mueve $e^{2}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\ln (4 e^{- 2})$

Paso 5

Reescribe $\ln (4 e^{- 2})$ como $\ln (4) + \ln (e^{- 2})$ .

$\ln (4) + \ln (e^{- 2})$

Paso 6

Usa las reglas de logaritmos para mover $- 2$ fuera del exponente.

$\ln (4) - 2 \ln (e)$

Paso 7

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$\ln (4) - 2 \cdot 1$

Paso 8

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\ln (4) - 2$

Paso 9

Simplifica cada término.

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Paso 9.1

Reescribe $\ln (4)$ como $\ln (2^{2})$ .

$\ln (2^{2}) - 2$

Paso 9.2

Expande $\ln (2^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$2 \ln (2) - 2$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$2 \ln (2) - 2$

Forma decimal:

$- 0.61370563 \dots$