Precálculo Ejemplos

$\ln (\sqrt{x}) + \frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{y}{x}) + \frac{1}{2} \cdot \ln (x) + \ln (\frac{1}{y})$

Paso 1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (\sqrt{x} \frac{y}{x}) + \frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \frac{1}{2} \cdot \ln (x) + \ln (\frac{1}{y})$

Paso 2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \frac{1}{2} \cdot \ln (x) + \ln (\sqrt{x} \frac{y}{x} \frac{1}{y})$

Paso 3

Simplifica cada término.

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Paso 3.1

Simplifica $\frac{1}{2} \ln (x)$ al mover $\frac{1}{2}$ dentro del algoritmo.

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \ln (\sqrt{x} \frac{y}{x} \frac{1}{y})$

Paso 3.2

Combina $\sqrt{x}$ y $\frac{y}{x}$ .

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \ln (\frac{\sqrt{x} y}{x} \cdot \frac{1}{y})$

Paso 3.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 3.3.1

Factoriza $y$ de $\sqrt{x} y$ .

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \ln (\frac{y \sqrt{x}}{x} \cdot \frac{1}{y})$

Paso 3.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \ln (\frac{y \sqrt{x}}{x} \cdot \frac{1}{y})$

Paso 3.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \ln (\frac{\sqrt{x}}{x})$

Paso 4

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (x^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{x}}{x})$

Paso 5

Simplifica cada término.

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Paso 5.1

Multiplica $x^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{x}}{x}$ .

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Paso 5.1.1

Combina $x^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{\sqrt{x}}{x}$ .

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}{x})$

Paso 5.1.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{x})$

Paso 5.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{x})$

Paso 5.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{x^{\frac{1 + 1}{2}}}{x})$

Paso 5.1.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{x^{\frac{2}{2}}}{x})$

Paso 5.1.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{x^{\frac{2}{2}}}{x})$

Paso 5.1.6.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{x^{1}}{x})$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $x^{1}$ y $x$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{x \cdot 1}{x})$

Paso 5.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{x \cdot 1}{x^{1}})$

Paso 5.2.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{x \cdot 1}{x \cdot 1})$

Paso 5.2.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{x \cdot 1}{x \cdot 1})$

Paso 5.2.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{1}{1})$

Paso 5.2.2.5

Reescribe la expresión.

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (1)$

Paso 5.3

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + 0$

Paso 6

Suma $\frac{\ln (x)}{\ln (y)}$ y $0$ .

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)}$