Precálculo Ejemplos

$\ln (3 + x) + \ln (2 x - 1) - 2 \ln (x)$

Paso 1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((3 + x) (2 x - 1)) - 2 \ln (x)$

Paso 2

Simplifica cada término.

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Paso 2.1

Expande $(3 + x) (2 x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (3 (2 x - 1) + x (2 x - 1)) - 2 \ln (x)$

Paso 2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (3 (2 x) + 3 \cdot - 1 + x (2 x - 1)) - 2 \ln (x)$

Paso 2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (3 (2 x) + 3 \cdot - 1 + x (2 x) + x \cdot - 1) - 2 \ln (x)$

Paso 2.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$\ln (6 x + 3 \cdot - 1 + x (2 x) + x \cdot - 1) - 2 \ln (x)$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\ln (6 x - 3 + x (2 x) + x \cdot - 1) - 2 \ln (x)$

Paso 2.2.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\ln (6 x - 3 + 2 x \cdot x + x \cdot - 1) - 2 \ln (x)$

Paso 2.2.1.4

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.1.4.1

Mueve $x$ .

$\ln (6 x - 3 + 2 (x \cdot x) + x \cdot - 1) - 2 \ln (x)$

Paso 2.2.1.4.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\ln (6 x - 3 + 2 x^{2} + x \cdot - 1) - 2 \ln (x)$

Paso 2.2.1.5

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$\ln (6 x - 3 + 2 x^{2} - 1 \cdot x) - 2 \ln (x)$

Paso 2.2.1.6

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\ln (6 x - 3 + 2 x^{2} - x) - 2 \ln (x)$

Paso 2.2.2

Resta $x$ de $6 x$ .

$\ln (5 x - 3 + 2 x^{2}) - 2 \ln (x)$

Paso 2.3

Simplifica $- 2 \ln (x)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\ln (5 x - 3 + 2 x^{2}) - \ln (x^{2})$

Paso 3

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{5 x - 3 + 2 x^{2}}{x^{2}})$

Paso 4

Factoriza por agrupación.

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Paso 4.1

Reordena los términos.

$\ln (\frac{2 x^{2} + 5 x - 3}{x^{2}})$

Paso 4.2

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ y cuya suma es $b = 5$ .

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Paso 4.2.1

Factoriza $5$ de $5 x$ .

$\ln (\frac{2 x^{2} + 5 (x) - 3}{x^{2}})$

Paso 4.2.2

Reescribe $5$ como $- 1$ más $6$

$\ln (\frac{2 x^{2} + (- 1 + 6) x - 3}{x^{2}})$

Paso 4.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (\frac{2 x^{2} - 1 x + 6 x - 3}{x^{2}})$

Paso 4.3

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.3.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\ln (\frac{(2 x^{2} - 1 x) + 6 x - 3}{x^{2}})$

Paso 4.3.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\ln (\frac{x (2 x - 1) + 3 (2 x - 1)}{x^{2}})$

Paso 4.4

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x - 1$ .

$\ln (\frac{(2 x - 1) (x + 3)}{x^{2}})$