Precálculo Ejemplos

$\ln (2) - \ln (y) + \frac{1}{2} \cdot \ln (x + y) - \frac{1}{3} \cdot \ln (27)$

Paso 1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{2}{y}) + \frac{1}{2} \cdot \ln (x + y) - \frac{1}{3} \cdot \ln (27)$

Paso 2

Simplifica cada término.

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Paso 2.1

Simplifica $\frac{1}{2} \ln (x + y)$ al mover $\frac{1}{2}$ dentro del algoritmo.

$\ln (\frac{2}{y}) + \ln ({(x + y)}^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{3} \cdot \ln (27)$

Paso 2.2

Multiplica $- \frac{1}{3} \ln (27)$ .

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Paso 2.2.1

Reordena $\ln (27)$ y $\frac{1}{3}$ .

$\ln (\frac{2}{y}) + \ln ({(x + y)}^{\frac{1}{2}}) - (\frac{1}{3} \ln (27))$

Paso 2.2.2

Simplifica $\frac{1}{3} \ln (27)$ al mover $\frac{1}{3}$ dentro del algoritmo.

$\ln (\frac{2}{y}) + \ln ({(x + y)}^{\frac{1}{2}}) - \ln (27^{\frac{1}{3}})$

Paso 2.3

Reescribe $27$ como $3^{3}$ .

$\ln (\frac{2}{y}) + \ln ({(x + y)}^{\frac{1}{2}}) - \ln ({(3^{3})}^{\frac{1}{3}})$

Paso 2.4

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{2}{y}) + \ln ({(x + y)}^{\frac{1}{2}}) - \ln (3^{3 (\frac{1}{3})})$

Paso 2.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.5.1

Cancela el factor común.

$\ln (\frac{2}{y}) + \ln ({(x + y)}^{\frac{1}{2}}) - \ln (3^{3 (\frac{1}{3})})$

Paso 2.5.2

Reescribe la expresión.

$\ln (\frac{2}{y}) + \ln ({(x + y)}^{\frac{1}{2}}) - \ln (3^{1})$

Paso 2.6

Evalúa el exponente.

$\ln (\frac{2}{y}) + \ln ({(x + y)}^{\frac{1}{2}}) - \ln (3)$

Paso 3

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (\frac{2}{y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) - \ln (3)$

Paso 4

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{2}{y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{3})$

Paso 5

Combina $\frac{2}{y}$ y ${(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (\frac{\frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{y}}{3})$

Paso 6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\ln (\frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{y} \cdot \frac{1}{3})$

Paso 7

Combinar.

$\ln (\frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{y \cdot 3})$

Paso 8

Simplifica la expresión.

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Paso 8.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$\ln (\frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{y \cdot 3})$

Paso 8.2

Mueve $3$ a la izquierda de $y$ .

$\ln (\frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{3 y})$