Precálculo Ejemplos

$\ln (\frac{x}{x - 1}) - \ln (x^{2} - 1)$

Paso 1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{x}{x - 1}}{x^{2} - 1})$

Paso 2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\ln (\frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{x^{2} - 1})$

Paso 3

Simplifica el denominador.

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Paso 3.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\ln (\frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{x^{2} - 1^{2}})$

Paso 3.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\ln (\frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{(x + 1) (x - 1)})$

Paso 4

Multiplica $\frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{x}{x - 1}$ por $\frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$ .

$\ln (\frac{x}{(x - 1) ((x + 1) (x - 1))})$

Paso 4.2

Eleva $x - 1$ a la potencia de $1$ .

$\ln (\frac{x}{{(x - 1)}^{1} (x - 1) (x + 1)})$

Paso 4.3

Eleva $x - 1$ a la potencia de $1$ .

$\ln (\frac{x}{{(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{1} (x + 1)})$

Paso 4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\ln (\frac{x}{{(x - 1)}^{1 + 1} (x + 1)})$

Paso 4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\ln (\frac{x}{{(x - 1)}^{2} (x + 1)})$